Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2691 / 645
↖ ↑ ↗
← N 76.740397°
E 56.513672°		 ← 2 241.57 m → N 76.740397°
E 56.601563°		 →
↑
2 243.23 m
↓
↑
2 243.23 m
↓
N 76.720223°
E 56.513672°		 ← 2 244.92 m →
5 032 104 m²		 N 76.720223°
E 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6571044921875 y=0.1575927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6571044921875 × 212)
    floor (0.6571044921875 × 4096)
    floor (2691.5)     		tx = 2691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1575927734375 × 212)
    floor (0.1575927734375 × 4096)
    floor (645.5)     		ty = 645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2691 / 645 ti = "12/2691/645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2691/645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2691 ÷ 212
    2691 ÷ 4096     		x = 0.656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 645 ÷ 212
    645 ÷ 4096     		y = 0.157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656982421875 × 2 - 1) × π
    0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157470703125 × 2 - 1) × π
    0.68505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15217504534204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98634965} λ = 0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15217504534204))-π/2
    2×atan(8.60355117489696)-π/2
    2×1.45508446404565-π/2
    2.9101689280913-1.57079632675     		φ = 1.33937260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33937260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.740397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2691 KachelY 645 0.98634965 1.33937260 56.513672 76.740397
    Oben rechts KachelX + 1 2692 KachelY 645 0.98788363 1.33937260 56.601563 76.740397
    Unten links KachelX 2691 KachelY + 1 646 0.98634965 1.33902050 56.513672 76.720223
    Unten rechts KachelX + 1 2692 KachelY + 1 646 0.98788363 1.33902050 56.601563 76.720223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33937260-1.33902050) × R
    0.000352099999999966 × 6371000     		dl = 2243.22909999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33937260-1.33902050) × R
    0.000352099999999966 × 6371000     		dr = 2243.22909999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98634965-0.98788363) × cos(1.33937260) × R
    0.00153398000000005 × 0.229363526947781 × 6371000     		do = 2241.5666708022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98634965-0.98788363) × cos(1.33902050) × R
    0.00153398000000005 × 0.229706226029548 × 6371000     		du = 2244.91586432929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33937260)-sin(1.33902050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229363526947781-0.229706226029548)×R²
    abs(0.98788363-0.98634965)×0.000342699081767844×R²
    0.00153398000000005×0.000342699081767844×6371000²
    0.00153398000000005×0.000342699081767844×40589641000000     		ar = 5032104.14170926m²