Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2692 / 636
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
E 56.601563°		 ← 2 211.64 m → N 76.920614°
E 56.689453°		 →
↑
2 213.29 m
↓
↑
2 213.29 m
↓
N 76.900709°
E 56.601563°		 ← 2 214.94 m →
4 898 640 m²		 N 76.900709°
E 56.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6573486328125 y=0.1553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6573486328125 × 212)
    floor (0.6573486328125 × 4096)
    floor (2692.5)     		tx = 2692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1553955078125 × 212)
    floor (0.1553955078125 × 4096)
    floor (636.5)     		ty = 636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2692 / 636 ti = "12/2692/636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2692/636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2692 ÷ 212
    2692 ÷ 4096     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 636 ÷ 212
    636 ÷ 4096     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2692 KachelY 636 0.98788363 1.34251797 56.601563 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 2693 KachelY 636 0.98941761 1.34251797 56.689453 76.920614
    Unten links KachelX 2692 KachelY + 1 637 0.98788363 1.34217057 56.601563 76.900709
    Unten rechts KachelX + 1 2693 KachelY + 1 637 0.98941761 1.34217057 56.689453 76.900709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34217057) × R
    0.000347400000000109 × 6371000     		dl = 2213.28540000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34217057) × R
    0.000347400000000109 × 6371000     		dr = 2213.28540000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98941761) × cos(1.34251797) × R
    0.00153397999999993 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 2211.63546681393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98941761) × cos(1.34217057) × R
    0.00153397999999993 × 0.226639254256175 × 6371000     		du = 2214.94239034671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34217057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226639254256175)×R²
    abs(0.98941761-0.98788363)×0.000338373894787525×R²
    0.00153397999999993×0.000338373894787525×6371000²
    0.00153397999999993×0.000338373894787525×40589641000000     		ar = 4898640.12087625m²