Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2693 / 644
↖ ↑ ↗
← N 76.760541°
E 56.689453°		 ← 2 238.22 m → N 76.760541°
E 56.777344°		 →
↑
2 239.92 m
↓
↑
2 239.92 m
↓
N 76.740397°
E 56.689453°		 ← 2 241.57 m →
5 017 176 m²		 N 76.740397°
E 56.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6575927734375 y=0.1573486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6575927734375 × 212)
    floor (0.6575927734375 × 4096)
    floor (2693.5)     		tx = 2693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1573486328125 × 212)
    floor (0.1573486328125 × 4096)
    floor (644.5)     		ty = 644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2693 / 644 ti = "12/2693/644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2693/644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2693 ÷ 212
    2693 ÷ 4096     		x = 0.657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 644 ÷ 212
    644 ÷ 4096     		y = 0.1572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.657470703125 × 2 - 1) × π
    0.31494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98941761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    0.685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15370902612988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98941761} λ = 0.98941761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15370902612988))-π/2
    2×atan(8.61675898477983)-π/2
    2×1.45526025239671-π/2
    2.91052050479342-1.57079632675     		φ = 1.33972418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98941761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.689453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33972418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.760541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2693 KachelY 644 0.98941761 1.33972418 56.689453 76.760541
    Oben rechts KachelX + 1 2694 KachelY 644 0.99095159 1.33972418 56.777344 76.760541
    Unten links KachelX 2693 KachelY + 1 645 0.98941761 1.33937260 56.689453 76.740397
    Unten rechts KachelX + 1 2694 KachelY + 1 645 0.99095159 1.33937260 56.777344 76.740397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33972418-1.33937260) × R
    0.000351580000000018 × 6371000     		dl = 2239.91618000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33972418-1.33937260) × R
    0.000351580000000018 × 6371000     		dr = 2239.91618000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98941761-0.99095159) × cos(1.33972418) × R
    0.00153398000000005 × 0.229021305609969 × 6371000     		do = 2238.22214626038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98941761-0.99095159) × cos(1.33937260) × R
    0.00153398000000005 × 0.229363526947781 × 6371000     		du = 2241.5666708022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33972418)-sin(1.33937260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229021305609969-0.229363526947781)×R²
    abs(0.99095159-0.98941761)×0.000342221337811338×R²
    0.00153398000000005×0.000342221337811338×6371000²
    0.00153398000000005×0.000342221337811338×40589641000000     		ar = 5017175.77884452m²