Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2696 / 649
↖ ↑ ↗
← N 76.659520°
E 56.953125°		 ← 2 254.99 m → N 76.659520°
E 57.041016°		 →
↑
2 256.67 m
↓
↑
2 256.67 m
↓
N 76.639225°
E 56.953125°		 ← 2 258.36 m →
5 092 577 m²		 N 76.639225°
E 57.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6583251953125 y=0.1585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6583251953125 × 212)
    floor (0.6583251953125 × 4096)
    floor (2696.5)     		tx = 2696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1585693359375 × 212)
    floor (0.1585693359375 × 4096)
    floor (649.5)     		ty = 649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2696 / 649 ti = "12/2696/649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2696/649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2696 ÷ 212
    2696 ÷ 4096     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 649 ÷ 212
    649 ÷ 4096     		y = 0.158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    0.68310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14603912219067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14603912219067))-π/2
    2×atan(8.5509220752362)-π/2
    2×1.45437868030135-π/2
    2.9087573606027-1.57079632675     		φ = 1.33796103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33796103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.659520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2696 KachelY 649 0.99401955 1.33796103 56.953125 76.659520
    Oben rechts KachelX + 1 2697 KachelY 649 0.99555353 1.33796103 57.041016 76.659520
    Unten links KachelX 2696 KachelY + 1 650 0.99401955 1.33760682 56.953125 76.639225
    Unten rechts KachelX + 1 2697 KachelY + 1 650 0.99555353 1.33760682 57.041016 76.639225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33796103-1.33760682) × R
    0.000354210000000021 × 6371000     		dl = 2256.67191000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33796103-1.33760682) × R
    0.000354210000000021 × 6371000     		dr = 2256.67191000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99555353) × cos(1.33796103) × R
    0.00153398000000005 × 0.230737236700956 × 6371000     		do = 2254.99191778479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99555353) × cos(1.33760682) × R
    0.00153398000000005 × 0.231081874251245 × 6371000     		du = 2258.36005593873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33796103)-sin(1.33760682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230737236700956-0.231081874251245)×R²
    abs(0.99555353-0.99401955)×0.000344637550289045×R²
    0.00153398000000005×0.000344637550289045×6371000²
    0.00153398000000005×0.000344637550289045×40589641000000     		ar = 5092577.36277162m²