Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2696 / 664
↖ ↑ ↗
← N 76.351896°
E 56.953125°		 ← 2 306.01 m → N 76.351896°
E 57.041016°		 →
↑
2 307.70 m
↓
↑
2 307.70 m
↓
N 76.331143°
E 56.953125°		 ← 2 309.45 m →
5 325 568 m²		 N 76.331143°
E 57.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6583251953125 y=0.1622314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6583251953125 × 212)
    floor (0.6583251953125 × 4096)
    floor (2696.5)     		tx = 2696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1622314453125 × 212)
    floor (0.1622314453125 × 4096)
    floor (664.5)     		ty = 664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2696 / 664 ti = "12/2696/664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2696/664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2696 ÷ 212
    2696 ÷ 4096     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 664 ÷ 212
    664 ÷ 4096     		y = 0.162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162109375 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12302941037305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12302941037305))-π/2
    2×atan(8.35641418943236)-π/2
    2×1.45169415482272-π/2
    2.90338830964543-1.57079632675     		φ = 1.33259198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33259198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.351896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2696 KachelY 664 0.99401955 1.33259198 56.953125 76.351896
    Oben rechts KachelX + 1 2697 KachelY 664 0.99555353 1.33259198 57.041016 76.351896
    Unten links KachelX 2696 KachelY + 1 665 0.99401955 1.33222976 56.953125 76.331143
    Unten rechts KachelX + 1 2697 KachelY + 1 665 0.99555353 1.33222976 57.041016 76.331143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33259198-1.33222976) × R
    0.000362219999999969 × 6371000     		dl = 2307.7036199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33259198-1.33222976) × R
    0.000362219999999969 × 6371000     		dr = 2307.7036199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99555353) × cos(1.33259198) × R
    0.00153398000000005 × 0.235958057996113 × 6371000     		do = 2306.01493423894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99555353) × cos(1.33222976) × R
    0.00153398000000005 × 0.236310034590014 × 6371000     		du = 2309.45479676761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33259198)-sin(1.33222976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235958057996113-0.236310034590014)×R²
    abs(0.99555353-0.99401955)×0.000351976593901404×R²
    0.00153398000000005×0.000351976593901404×6371000²
    0.00153398000000005×0.000351976593901404×40589641000000     		ar = 5325568.16134606m²