Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2698 / 650
↖ ↑ ↗
← N 76.639225°
E 57.128906°		 ← 2 258.36 m → N 76.639225°
E 57.216797°		 →
↑
2 260.05 m
↓
↑
2 260.05 m
↓
N 76.618900°
E 57.128906°		 ← 2 261.73 m →
5 107 815 m²		 N 76.618900°
E 57.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6588134765625 y=0.1588134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6588134765625 × 212)
    floor (0.6588134765625 × 4096)
    floor (2698.5)     		tx = 2698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1588134765625 × 212)
    floor (0.1588134765625 × 4096)
    floor (650.5)     		ty = 650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2698 / 650 ti = "12/2698/650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2698/650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2698 ÷ 212
    2698 ÷ 4096     		x = 0.65869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 650 ÷ 212
    650 ÷ 4096     		y = 0.15869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65869140625 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99708751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    0.6826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14450514140283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99708751} λ = 0.99708751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14450514140283))-π/2
    2×atan(8.53781518048697)-π/2
    2×1.45420157492402-π/2
    2.90840314984804-1.57079632675     		φ = 1.33760682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99708751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33760682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.639225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2698 KachelY 650 0.99708751 1.33760682 57.128906 76.639225
    Oben rechts KachelX + 1 2699 KachelY 650 0.99862149 1.33760682 57.216797 76.639225
    Unten links KachelX 2698 KachelY + 1 651 0.99708751 1.33725208 57.128906 76.618900
    Unten rechts KachelX + 1 2699 KachelY + 1 651 0.99862149 1.33725208 57.216797 76.618900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33760682-1.33725208) × R
    0.000354739999999909 × 6371000     		dl = 2260.04853999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33760682-1.33725208) × R
    0.000354739999999909 × 6371000     		dr = 2260.04853999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99708751-0.99862149) × cos(1.33760682) × R
    0.00153398000000005 × 0.231081874251245 × 6371000     		do = 2258.36005593873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99708751-0.99862149) × cos(1.33725208) × R
    0.00153398000000005 × 0.231426998420648 × 6371000     		du = 2261.73294981474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33760682)-sin(1.33725208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231081874251245-0.231426998420648)×R²
    abs(0.99862149-0.99708751)×0.000345124169402661×R²
    0.00153398000000005×0.000345124169402661×6371000²
    0.00153398000000005×0.000345124169402661×40589641000000     		ar = 5107814.85271919m²