Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 27 / 43
↖ ↑ ↗
← S 52.482780°
W 28.125000°		 ← 380.912 km → S 52.482780°
W 22.500000°		 →
↑
366.253 km
↓
↑
366.253 km
↓
S 55.776573°
W 28.125000°		 ← 351.779 km →
134 212 km²		 S 55.776573°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4296875 y=0.6796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4296875 × 26)
    floor (0.4296875 × 64)
    floor (27.5)     		tx = 27
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6796875 × 26)
    floor (0.6796875 × 64)
    floor (43.5)     		ty = 43
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 27 / 43 ti = "6/27/43"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/27/43.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27 ÷ 26
    27 ÷ 64     		x = 0.421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43 ÷ 26
    43 ÷ 64     		y = 0.671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421875 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671875 × 2 - 1) × π
    -0.34375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49087385} λ = -0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07992247464063))-π/2
    2×atan(0.339621853930649)-π/2
    2×0.327399505668934-π/2
    0.654799011337869-1.57079632675     		φ = -0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27 KachelY 43 -0.49087385 -0.91599732 -28.125000 -52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 28 KachelY 43 -0.39269908 -0.91599732 -22.500000 -52.482780
    Unten links KachelX 27 KachelY + 1 44 -0.49087385 -0.97348484 -28.125000 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 28 KachelY + 1 44 -0.39269908 -0.97348484 -22.500000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91599732--0.97348484) × R
    0.05748752 × 6371000     		dl = 366252.98992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91599732--0.97348484) × R
    0.05748752 × 6371000     		dr = 366252.98992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49087385--0.39269908) × cos(-0.91599732) × R
    0.09817477 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 380912.01497387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49087385--0.39269908) × cos(-0.97348484) × R
    0.09817477 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 351778.602636244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91599732)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.39269908--0.49087385)×0.0465783240581379×R²
    0.09817477×0.0465783240581379×6371000²
    0.09817477×0.0465783240581379×40589641000000     		ar = 134212028889.089m²