Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2704 / 3728
↖ ↑ ↗
← S 81.308321°
E 57.656250°		 ← 1 476.87 m → S 81.308321°
E 57.744141°		 →
↑
1 475.71 m
↓
↑
1 475.71 m
↓
S 81.321592°
E 57.656250°		 ← 1 474.63 m →
2 177 783 m²		 S 81.321592°
E 57.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6602783203125 y=0.9102783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6602783203125 × 212)
    floor (0.6602783203125 × 4096)
    floor (2704.5)     		tx = 2704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9102783203125 × 212)
    floor (0.9102783203125 × 4096)
    floor (3728.5)     		ty = 3728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2704 / 3728 ti = "12/2704/3728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2704/3728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2704 ÷ 212
    2704 ÷ 4096     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3728 ÷ 212
    3728 ÷ 4096     		y = 0.91015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91015625 × 2 - 1) × π
    -0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57708772357422))-π/2
    2×atan(0.0759950005136877)-π/2
    2×0.0758492089119329-π/2
    0.151698417823866-1.57079632675     		φ = -1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2704 KachelY 3728 1.00629140 -1.41909791 57.656250 -81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 2705 KachelY 3728 1.00782538 -1.41909791 57.744141 -81.308321
    Unten links KachelX 2704 KachelY + 1 3729 1.00629140 -1.41932954 57.656250 -81.321592
    Unten rechts KachelX + 1 2705 KachelY + 1 3729 1.00782538 -1.41932954 57.744141 -81.321592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41909791--1.41932954) × R
    0.000231629999999816 × 6371000     		dl = 1475.71472999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41909791--1.41932954) × R
    0.000231629999999816 × 6371000     		dr = 1475.71472999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00782538) × cos(-1.41909791) × R
    0.00153398000000005 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 1476.86696899052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00782538) × cos(-1.41932954) × R
    0.00153398000000005 × 0.150888287558526 × 6371000     		du = 1474.6292093887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41909791)-sin(-1.41932954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.150888287558526)×R²
    abs(1.00782538-1.00629140)×0.000228973976737101×R²
    0.00153398000000005×0.000228973976737101×6371000²
    0.00153398000000005×0.000228973976737101×40589641000000     		ar = 2177783.20272549m²