Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2704 / 624
↖ ↑ ↗
← N 77.157163°
E 57.656250°		 ← 2 172.32 m → N 77.157163°
E 57.744141°		 →
↑
2 173.98 m
↓
↑
2 173.98 m
↓
N 77.137612°
E 57.656250°		 ← 2 175.57 m →
4 726 096 m²		 N 77.137612°
E 57.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6602783203125 y=0.1524658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6602783203125 × 212)
    floor (0.6602783203125 × 4096)
    floor (2704.5)     		tx = 2704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1524658203125 × 212)
    floor (0.1524658203125 × 4096)
    floor (624.5)     		ty = 624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2704 / 624 ti = "12/2704/624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2704/624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2704 ÷ 212
    2704 ÷ 4096     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 624 ÷ 212
    624 ÷ 4096     		y = 0.15234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15234375 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18438864188672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18438864188672))-π/2
    2×atan(8.88521484438621)-π/2
    2×1.45872142714891-π/2
    2.91744285429783-1.57079632675     		φ = 1.34664653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34664653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.157163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2704 KachelY 624 1.00629140 1.34664653 57.656250 77.157163
    Oben rechts KachelX + 1 2705 KachelY 624 1.00782538 1.34664653 57.744141 77.157163
    Unten links KachelX 2704 KachelY + 1 625 1.00629140 1.34630530 57.656250 77.137612
    Unten rechts KachelX + 1 2705 KachelY + 1 625 1.00782538 1.34630530 57.744141 77.137612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34664653-1.34630530) × R
    0.000341229999999859 × 6371000     		dl = 2173.9763299991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34664653-1.34630530) × R
    0.000341229999999859 × 6371000     		dr = 2173.9763299991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00782538) × cos(1.34664653) × R
    0.00153398000000005 × 0.222277508521736 × 6371000     		do = 2172.31510781883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00782538) × cos(1.34630530) × R
    0.00153398000000005 × 0.22261018917391 × 6371000     		du = 2175.56639136795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34664653)-sin(1.34630530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222277508521736-0.22261018917391)×R²
    abs(1.00782538-1.00629140)×0.000332680652173178×R²
    0.00153398000000005×0.000332680652173178×6371000²
    0.00153398000000005×0.000332680652173178×40589641000000     		ar = 4726095.77829523m²