Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2706 / 658
↖ ↑ ↗
← N 76.475773°
E 57.832031°		 ← 2 285.48 m → N 76.475773°
E 57.919922°		 →
↑
2 287.19 m
↓
↑
2 287.19 m
↓
N 76.455203°
E 57.832031°		 ← 2 288.89 m →
5 231 218 m²		 N 76.455203°
E 57.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6607666015625 y=0.1607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6607666015625 × 212)
    floor (0.6607666015625 × 4096)
    floor (2706.5)     		tx = 2706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1607666015625 × 212)
    floor (0.1607666015625 × 4096)
    floor (658.5)     		ty = 658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2706 / 658 ti = "12/2706/658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2706/658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2706 ÷ 212
    2706 ÷ 4096     		x = 0.66064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 658 ÷ 212
    658 ÷ 4096     		y = 0.16064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66064453125 × 2 - 1) × π
    0.3212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.00935936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16064453125 × 2 - 1) × π
    0.6787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1322332951001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00935936} λ = 1.00935936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1322332951001))-π/2
    2×atan(8.43368069291306)-π/2
    2×1.45277517780577-π/2
    2.90555035561154-1.57079632675     		φ = 1.33475403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00935936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33475403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.475773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2706 KachelY 658 1.00935936 1.33475403 57.832031 76.475773
    Oben rechts KachelX + 1 2707 KachelY 658 1.01089334 1.33475403 57.919922 76.475773
    Unten links KachelX 2706 KachelY + 1 659 1.00935936 1.33439503 57.832031 76.455203
    Unten rechts KachelX + 1 2707 KachelY + 1 659 1.01089334 1.33439503 57.919922 76.455203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33475403-1.33439503) × R
    0.000358999999999998 × 6371000     		dl = 2287.18899999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33475403-1.33439503) × R
    0.000358999999999998 × 6371000     		dr = 2287.18899999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00935936-1.01089334) × cos(1.33475403) × R
    0.00153398000000005 × 0.23385650743157 × 6371000     		do = 2285.47650877447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00935936-1.01089334) × cos(1.33439503) × R
    0.00153398000000005 × 0.234205537686903 × 6371000     		du = 2288.88757677586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33475403)-sin(1.33439503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23385650743157-0.234205537686903)×R²
    abs(1.01089334-1.00935936)×0.000349030255333116×R²
    0.00153398000000005×0.000349030255333116×6371000²
    0.00153398000000005×0.000349030255333116×40589641000000     		ar = 5231217.66541569m²