Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27135 / 43521
↖ ↑ ↗
← S 50.739932°
W 30.942993°		 ← 386.53 m → S 50.739932°
W 30.937500°		 →
↑
386.53 m
↓
↑
386.53 m
↓
S 50.743408°
W 30.942993°		 ← 386.50 m →
149 400 m²		 S 50.743408°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414054870605469 y=0.664085388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414054870605469 × 216)
    floor (0.414054870605469 × 65536)
    floor (27135.5)     		tx = 27135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664085388183594 × 216)
    floor (0.664085388183594 × 65536)
    floor (43521.5)     		ty = 43521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27135 / 43521 ti = "16/27135/43521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27135/43521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27135 ÷ 216
    27135 ÷ 65536     		x = 0.414047241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43521 ÷ 216
    43521 ÷ 65536     		y = 0.664077758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414047241210938 × 2 - 1) × π
    -0.171905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54005711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664077758789062 × 2 - 1) × π
    -0.328155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03093096322893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54005711} λ = -0.54005711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03093096322893))-π/2
    2×atan(0.356674754876022)-π/2
    2×0.342608729360459-π/2
    0.685217458720919-1.57079632675     		φ = -0.88557887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54005711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.942993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88557887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.739932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27135 KachelY 43521 -0.54005711 -0.88557887 -30.942993 -50.739932
    Oben rechts KachelX + 1 27136 KachelY 43521 -0.53996124 -0.88557887 -30.937500 -50.739932
    Unten links KachelX 27135 KachelY + 1 43522 -0.54005711 -0.88563954 -30.942993 -50.743408
    Unten rechts KachelX + 1 27136 KachelY + 1 43522 -0.53996124 -0.88563954 -30.937500 -50.743408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88557887--0.88563954) × R
    6.06699999999849e-05 × 6371000     		dl = 386.528569999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88557887--0.88563954) × R
    6.06699999999849e-05 × 6371000     		dr = 386.528569999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54005711--0.53996124) × cos(-0.88557887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632841399240198 × 6371000     		do = 386.531787005592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54005711--0.53996124) × cos(-0.88563954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632794422419974 × 6371000     		du = 386.503094138325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88557887)-sin(-0.88563954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632841399240198-0.632794422419974)×R²
    abs(-0.53996124--0.54005711)×4.69768202235876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69768202235876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69768202235876e-05×40589641000000     		ar = 149400.033630196m²