Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2720 / 416
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
E 59.062500°		 ← 1 588.27 m → N 80.647035°
E 59.150391°		 →
↑
1 589.50 m
↓
↑
1 589.50 m
↓
N 80.632740°
E 59.062500°		 ← 1 590.67 m →
2 526 463 m²		 N 80.632740°
E 59.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6641845703125 y=0.1016845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6641845703125 × 212)
    floor (0.6641845703125 × 4096)
    floor (2720.5)     		tx = 2720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1016845703125 × 212)
    floor (0.1016845703125 × 4096)
    floor (416.5)     		ty = 416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2720 / 416 ti = "12/2720/416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2720/416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2720 ÷ 212
    2720 ÷ 4096     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 416 ÷ 212
    416 ÷ 4096     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2720 KachelY 416 1.03083509 1.40755629 59.062500 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 2721 KachelY 416 1.03236907 1.40755629 59.150391 80.647035
    Unten links KachelX 2720 KachelY + 1 417 1.03083509 1.40730680 59.062500 80.632740
    Unten rechts KachelX + 1 2721 KachelY + 1 417 1.03236907 1.40730680 59.150391 80.632740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40730680) × R
    0.000249490000000074 × 6371000     		dl = 1589.50079000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40730680) × R
    0.000249490000000074 × 6371000     		dr = 1589.50079000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03236907) × cos(1.40755629) × R
    0.00153398000000005 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 1588.26685799572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03236907) × cos(1.40730680) × R
    0.00153398000000005 × 0.162762185689055 × 6371000     		du = 1590.67265647065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40730680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.162762185689055)×R²
    abs(1.03236907-1.03083509)×0.0002461681958974×R²
    0.00153398000000005×0.0002461681958974×6371000²
    0.00153398000000005×0.0002461681958974×40589641000000     		ar = 2526463.44791297m²