Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2724 / 676
↖ ↑ ↗
← N 76.100796°
E 59.414062°		 ← 2 347.61 m → N 76.100796°
E 59.501953°		 →
↑
2 349.31 m
↓
↑
2 349.31 m
↓
N 76.079668°
E 59.414062°		 ← 2 351.11 m →
5 519 373 m²		 N 76.079668°
E 59.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6651611328125 y=0.1651611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6651611328125 × 212)
    floor (0.6651611328125 × 4096)
    floor (2724.5)     		tx = 2724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1651611328125 × 212)
    floor (0.1651611328125 × 4096)
    floor (676.5)     		ty = 676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2724 / 676 ti = "12/2724/676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2724/676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2724 ÷ 212
    2724 ÷ 4096     		x = 0.6650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 676 ÷ 212
    676 ÷ 4096     		y = 0.1650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6650390625 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03697101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10462164091895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03697101} λ = 1.03697101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10462164091895))-π/2
    2×atan(8.20399836501525)-π/2
    2×1.44950289077394-π/2
    2.89900578154787-1.57079632675     		φ = 1.32820945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03697101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.414062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32820945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.100796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2724 KachelY 676 1.03697101 1.32820945 59.414062 76.100796
    Oben rechts KachelX + 1 2725 KachelY 676 1.03850499 1.32820945 59.501953 76.100796
    Unten links KachelX 2724 KachelY + 1 677 1.03697101 1.32784070 59.414062 76.079668
    Unten rechts KachelX + 1 2725 KachelY + 1 677 1.03850499 1.32784070 59.501953 76.079668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32820945-1.32784070) × R
    0.000368749999999807 × 6371000     		dl = 2349.30624999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32820945-1.32784070) × R
    0.000368749999999807 × 6371000     		dr = 2349.30624999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03697101-1.03850499) × cos(1.32820945) × R
    0.00153398000000005 × 0.240214559947368 × 6371000     		do = 2347.6136706863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03697101-1.03850499) × cos(1.32784070) × R
    0.00153398000000005 × 0.240572496540393 × 6371000     		du = 2351.11178020643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32820945)-sin(1.32784070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240214559947368-0.240572496540393)×R²
    abs(1.03850499-1.03697101)×0.000357936593025188×R²
    0.00153398000000005×0.000357936593025188×6371000²
    0.00153398000000005×0.000357936593025188×40589641000000     		ar = 5519372.59694496m²