Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2728 / 680
↖ ↑ ↗
← N 76.016094°
E 59.765625°		 ← 2 361.64 m → N 76.016094°
E 59.853516°		 →
↑
2 363.39 m
↓
↑
2 363.39 m
↓
N 75.994839°
E 59.765625°		 ← 2 365.15 m →
5 585 614 m²		 N 75.994839°
E 59.853516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6661376953125 y=0.1661376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6661376953125 × 212)
    floor (0.6661376953125 × 4096)
    floor (2728.5)     		tx = 2728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1661376953125 × 212)
    floor (0.1661376953125 × 4096)
    floor (680.5)     		ty = 680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2728 / 680 ti = "12/2728/680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2728/680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2728 ÷ 212
    2728 ÷ 4096     		x = 0.666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 680 ÷ 212
    680 ÷ 4096     		y = 0.166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.666015625 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.04310694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166015625 × 2 - 1) × π
    0.66796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09848571776758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.04310694} λ = 1.04310694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09848571776758))-π/2
    2×atan(8.1538133845587)-π/2
    2×1.44876372286263-π/2
    2.89752744572527-1.57079632675     		φ = 1.32673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.04310694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.016094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2728 KachelY 680 1.04310694 1.32673112 59.765625 76.016094
    Oben rechts KachelX + 1 2729 KachelY 680 1.04464092 1.32673112 59.853516 76.016094
    Unten links KachelX 2728 KachelY + 1 681 1.04310694 1.32636016 59.765625 75.994839
    Unten rechts KachelX + 1 2729 KachelY + 1 681 1.04464092 1.32636016 59.853516 75.994839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32673112-1.32636016) × R
    0.000370960000000142 × 6371000     		dl = 2363.38616000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32673112-1.32636016) × R
    0.000370960000000142 × 6371000     		dr = 2363.38616000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.04310694-1.04464092) × cos(1.32673112) × R
    0.00153398000000005 × 0.241649341163748 × 6371000     		do = 2361.63576825922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.04310694-1.04464092) × cos(1.32636016) × R
    0.00153398000000005 × 0.242009290624942 × 6371000     		du = 2365.15354951295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32673112)-sin(1.32636016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241649341163748-0.242009290624942)×R²
    abs(1.04464092-1.04310694)×0.000359949461194026×R²
    0.00153398000000005×0.000359949461194026×6371000²
    0.00153398000000005×0.000359949461194026×40589641000000     		ar = 5585614.29148319m²