Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2751 / 705
↖ ↑ ↗
← N 75.475130°
E 61.787109°		 ← 2 451.07 m → N 75.475130°
E 61.875000°		 →
↑
2 452.84 m
↓
↑
2 452.84 m
↓
N 75.453072°
E 61.787109°		 ← 2 454.71 m →
6 016 530 m²		 N 75.453072°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6717529296875 y=0.1722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6717529296875 × 212)
    floor (0.6717529296875 × 4096)
    floor (2751.5)     		tx = 2751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1722412109375 × 212)
    floor (0.1722412109375 × 4096)
    floor (705.5)     		ty = 705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2751 / 705 ti = "12/2751/705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2751/705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2751 ÷ 212
    2751 ÷ 4096     		x = 0.671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 705 ÷ 212
    705 ÷ 4096     		y = 0.172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671630859375 × 2 - 1) × π
    0.34326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.07838849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172119140625 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06013619807153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07838849} λ = 1.07838849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06013619807153))-π/2
    2×atan(7.84703848905026)-π/2
    2×1.44404293035468-π/2
    2.88808586070937-1.57079632675     		φ = 1.31728953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07838849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31728953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.475130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2751 KachelY 705 1.07838849 1.31728953 61.787109 75.475130
    Oben rechts KachelX + 1 2752 KachelY 705 1.07992247 1.31728953 61.875000 75.475130
    Unten links KachelX 2751 KachelY + 1 706 1.07838849 1.31690453 61.787109 75.453072
    Unten rechts KachelX + 1 2752 KachelY + 1 706 1.07992247 1.31690453 61.875000 75.453072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31728953-1.31690453) × R
    0.00038500000000008 × 6371000     		dl = 2452.83500000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31728953-1.31690453) × R
    0.00038500000000008 × 6371000     		dr = 2452.83500000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07838849-1.07992247) × cos(1.31728953) × R
    0.00153398000000005 × 0.250800210026571 × 6371000     		do = 2451.06708685094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07838849-1.07992247) × cos(1.31690453) × R
    0.00153398000000005 × 0.251172886395047 × 6371000     		du = 2454.70924799873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31728953)-sin(1.31690453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250800210026571-0.251172886395047)×R²
    abs(1.07992247-1.07838849)×0.000372676368475655×R²
    0.00153398000000005×0.000372676368475655×6371000²
    0.00153398000000005×0.000372676368475655×40589641000000     		ar = 6016530.02246453m²