Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2752 / 447
↖ ↑ ↗
← N 80.193694°
E 61.875000°		 ← 1 664.53 m → N 80.193694°
E 61.962891°		 →
↑
1 665.76 m
↓
↑
1 665.76 m
↓
N 80.178713°
E 61.875000°		 ← 1 667.04 m →
2 774 801 m²		 N 80.178713°
E 61.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6719970703125 y=0.1092529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6719970703125 × 212)
    floor (0.6719970703125 × 4096)
    floor (2752.5)     		tx = 2752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1092529296875 × 212)
    floor (0.1092529296875 × 4096)
    floor (447.5)     		ty = 447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2752 / 447 ti = "12/2752/447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2752/447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2752 ÷ 212
    2752 ÷ 4096     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 447 ÷ 212
    447 ÷ 4096     		y = 0.109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109130859375 × 2 - 1) × π
    0.78173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45590324133472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45590324133472))-π/2
    2×atan(11.6569578413353)-π/2
    2×1.48522016466205-π/2
    2.9704403293241-1.57079632675     		φ = 1.39964400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39964400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.193694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2752 KachelY 447 1.07992247 1.39964400 61.875000 80.193694
    Oben rechts KachelX + 1 2753 KachelY 447 1.08145646 1.39964400 61.962891 80.193694
    Unten links KachelX 2752 KachelY + 1 448 1.07992247 1.39938254 61.875000 80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 2753 KachelY + 1 448 1.08145646 1.39938254 61.962891 80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39964400-1.39938254) × R
    0.000261460000000158 × 6371000     		dl = 1665.761660001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39964400-1.39938254) × R
    0.000261460000000158 × 6371000     		dr = 1665.761660001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08145646) × cos(1.39964400) × R
    0.00153398999999999 × 0.170317952226229 × 6371000     		do = 1664.52591239673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08145646) × cos(1.39938254) × R
    0.00153398999999999 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 1667.04378268005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39964400)-sin(1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170317952226229-0.170575586251288)×R²
    abs(1.08145646-1.07992247)×0.000257634025058878×R²
    0.00153398999999999×0.000257634025058878×6371000²
    0.00153398999999999×0.000257634025058878×40589641000000     		ar = 2774800.54865143m²