Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2753 / 703
↖ ↑ ↗
← N 75.519151°
E 61.962891°		 ← 2 443.80 m → N 75.519151°
E 62.050781°		 →
↑
2 445.64 m
↓
↑
2 445.64 m
↓
N 75.497157°
E 61.962891°		 ← 2 447.43 m →
5 981 081 m²		 N 75.497157°
E 62.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6722412109375 y=0.1717529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6722412109375 × 212)
    floor (0.6722412109375 × 4096)
    floor (2753.5)     		tx = 2753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1717529296875 × 212)
    floor (0.1717529296875 × 4096)
    floor (703.5)     		ty = 703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2753 / 703 ti = "12/2753/703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2753/703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2753 ÷ 212
    2753 ÷ 4096     		x = 0.672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 703 ÷ 212
    703 ÷ 4096     		y = 0.171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.672119140625 × 2 - 1) × π
    0.34423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08145646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171630859375 × 2 - 1) × π
    0.65673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06320415964722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08145646} λ = 1.08145646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06320415964722))-π/2
    2×atan(7.87114986909921)-π/2
    2×1.44442708228482-π/2
    2.88885416456965-1.57079632675     		φ = 1.31805784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08145646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31805784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.519151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2753 KachelY 703 1.08145646 1.31805784 61.962891 75.519151
    Oben rechts KachelX + 1 2754 KachelY 703 1.08299044 1.31805784 62.050781 75.519151
    Unten links KachelX 2753 KachelY + 1 704 1.08145646 1.31767397 61.962891 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 2754 KachelY + 1 704 1.08299044 1.31767397 62.050781 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31805784-1.31767397) × R
    0.000383870000000064 × 6371000     		dl = 2445.63577000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31805784-1.31767397) × R
    0.000383870000000064 × 6371000     		dr = 2445.63577000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08145646-1.08299044) × cos(1.31805784) × R
    0.00153398000000005 × 0.250056382131499 × 6371000     		do = 2443.79766681456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08145646-1.08299044) × cos(1.31767397) × R
    0.00153398000000005 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 2447.4298608747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31805784)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250056382131499-0.250428038638996)×R²
    abs(1.08299044-1.08145646)×0.00037165650749682×R²
    0.00153398000000005×0.00037165650749682×6371000²
    0.00153398000000005×0.00037165650749682×40589641000000     		ar = 5981080.57391051m²