Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2754 / 578
↖ ↑ ↗
← N 78.025574°
E 62.050781°		 ← 2 027.65 m → N 78.025574°
E 62.138672°		 →
↑
2 029.16 m
↓
↑
2 029.16 m
↓
N 78.007325°
E 62.050781°		 ← 2 030.70 m →
4 117 525 m²		 N 78.007325°
E 62.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6724853515625 y=0.1412353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6724853515625 × 212)
    floor (0.6724853515625 × 4096)
    floor (2754.5)     		tx = 2754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1412353515625 × 212)
    floor (0.1412353515625 × 4096)
    floor (578.5)     		ty = 578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2754 / 578 ti = "12/2754/578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2754/578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2754 ÷ 212
    2754 ÷ 4096     		x = 0.67236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 578 ÷ 212
    578 ÷ 4096     		y = 0.14111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67236328125 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.08299044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14111328125 × 2 - 1) × π
    0.7177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25495175812744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08299044} λ = 1.08299044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25495175812744))-π/2
    2×atan(9.53483332083755)-π/2
    2×1.46629974371594-π/2
    2.93259948743187-1.57079632675     		φ = 1.36180316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08299044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36180316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.025574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2754 KachelY 578 1.08299044 1.36180316 62.050781 78.025574
    Oben rechts KachelX + 1 2755 KachelY 578 1.08452442 1.36180316 62.138672 78.025574
    Unten links KachelX 2754 KachelY + 1 579 1.08299044 1.36148466 62.050781 78.007325
    Unten rechts KachelX + 1 2755 KachelY + 1 579 1.08452442 1.36148466 62.138672 78.007325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36180316-1.36148466) × R
    0.00031850000000011 × 6371000     		dl = 2029.1635000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36180316-1.36148466) × R
    0.00031850000000011 × 6371000     		dr = 2029.1635000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08299044-1.08452442) × cos(1.36180316) × R
    0.00153397999999982 × 0.20747508035265 × 6371000     		do = 2027.65117597064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08299044-1.08452442) × cos(1.36148466) × R
    0.00153397999999982 × 0.207786639360619 × 6371000     		du = 2030.6960379744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36180316)-sin(1.36148466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20747508035265-0.207786639360619)×R²
    abs(1.08452442-1.08299044)×0.000311559007969281×R²
    0.00153397999999982×0.000311559007969281×6371000²
    0.00153397999999982×0.000311559007969281×40589641000000     		ar = 4117525.0532402m²