Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 276 / 268
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
E 14.062500°		 ← 77.344 km → S  8.407168°
E 14.765625°		 →
↑
77.273 km
↓
↑
77.273 km
↓
S  9.102097°
E 14.062500°		 ← 77.199 km →
5 971.04 km²		 S  9.102097°
E 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5400390625 y=0.5244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5400390625 × 29)
    floor (0.5400390625 × 512)
    floor (276.5)     		tx = 276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5244140625 × 29)
    floor (0.5244140625 × 512)
    floor (268.5)     		ty = 268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 276 / 268 ti = "9/276/268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/276/268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 276 ÷ 29
    276 ÷ 512     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 268 ÷ 29
    268 ÷ 512     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 276 KachelY 268 0.24543693 -0.14673277 14.062500 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 277 KachelY 268 0.25770877 -0.14673277 14.765625 -8.407168
    Unten links KachelX 276 KachelY + 1 269 0.24543693 -0.15886156 14.062500 -9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 277 KachelY + 1 269 0.25770877 -0.15886156 14.765625 -9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.15886156) × R
    0.01212879 × 6371000     		dl = 77272.52109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.15886156) × R
    0.01212879 × 6371000     		dr = 77272.52109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.25770877) × cos(-0.14673277) × R
    0.01227184 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 77343.732310578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.25770877) × cos(-0.15886156) × R
    0.01227184 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 77199.4024563204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.987408017809851)×R²
    abs(0.25770877-0.24543693)×0.00184603054905597×R²
    0.01227184×0.00184603054905597×6371000²
    0.01227184×0.00184603054905597×40589641000000     		ar = 5971042019.25304m²