Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27652 / 44036
↖ ↑ ↗
← S 52.496160°
W 28.103028°		 ← 371.90 m → S 52.496160°
W 28.097534°		 →
↑
371.88 m
↓
↑
371.88 m
↓
S 52.499504°
W 28.103028°		 ← 371.87 m →
138 293 m²		 S 52.499504°
W 28.097534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421943664550781 y=0.671943664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421943664550781 × 216)
    floor (0.421943664550781 × 65536)
    floor (27652.5)     		tx = 27652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671943664550781 × 216)
    floor (0.671943664550781 × 65536)
    floor (44036.5)     		ty = 44036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27652 / 44036 ti = "16/27652/44036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27652/44036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27652 ÷ 216
    27652 ÷ 65536     		x = 0.42193603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44036 ÷ 216
    44036 ÷ 65536     		y = 0.67193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49049036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.3438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08030596983759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49049036} λ = -0.49049036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08030596983759))-π/2
    2×atan(0.339491635551541)-π/2
    2×0.327282749171924-π/2
    0.654565498343848-1.57079632675     		φ = -0.91623083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49049036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.103028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91623083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.496160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27652 KachelY 44036 -0.49049036 -0.91623083 -28.103028 -52.496160
    Oben rechts KachelX + 1 27653 KachelY 44036 -0.49039448 -0.91623083 -28.097534 -52.496160
    Unten links KachelX 27652 KachelY + 1 44037 -0.49049036 -0.91628920 -28.103028 -52.499504
    Unten rechts KachelX + 1 27653 KachelY + 1 44037 -0.49039448 -0.91628920 -28.097534 -52.499504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91623083--0.91628920) × R
    5.83699999999743e-05 × 6371000     		dl = 371.875269999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91623083--0.91628920) × R
    5.83699999999743e-05 × 6371000     		dr = 371.875269999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49049036--0.49039448) × cos(-0.91623083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.608814603971186 × 6371000     		do = 371.895301881384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49049036--0.49039448) × cos(-0.91628920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.608768297281419 × 6371000     		du = 371.867015371406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91623083)-sin(-0.91628920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608814603971186-0.608768297281419)×R²
    abs(-0.49039448--0.49049036)×4.63066897673503e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63066897673503e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63066897673503e-05×40589641000000     		ar = 138293.406311065m²