Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2768 / 720
↖ ↑ ↗
← N 75.140778°
E 63.281250°		 ← 2 506.23 m → N 75.140778°
E 63.369141°		 →
↑
2 508.14 m
↓
↑
2 508.14 m
↓
N 75.118222°
E 63.281250°		 ← 2 509.95 m →
6 290 635 m²		 N 75.118222°
E 63.369141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6759033203125 y=0.1759033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6759033203125 × 212)
    floor (0.6759033203125 × 4096)
    floor (2768.5)     		tx = 2768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1759033203125 × 212)
    floor (0.1759033203125 × 4096)
    floor (720.5)     		ty = 720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2768 / 720 ti = "12/2768/720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2768/720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2768 ÷ 212
    2768 ÷ 4096     		x = 0.67578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 720 ÷ 212
    720 ÷ 4096     		y = 0.17578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67578125 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17578125 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03712648625391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.10446617} λ = 1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03712648625391))-π/2
    2×atan(7.66854184823222)-π/2
    2×1.44112515130493-π/2
    2.88225030260985-1.57079632675     		φ = 1.31145398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31145398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.140778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2768 KachelY 720 1.10446617 1.31145398 63.281250 75.140778
    Oben rechts KachelX + 1 2769 KachelY 720 1.10600015 1.31145398 63.369141 75.140778
    Unten links KachelX 2768 KachelY + 1 721 1.10446617 1.31106030 63.281250 75.118222
    Unten rechts KachelX + 1 2769 KachelY + 1 721 1.10600015 1.31106030 63.369141 75.118222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31145398-1.31106030) × R
    0.000393679999999952 × 6371000     		dl = 2508.13527999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31145398-1.31106030) × R
    0.000393679999999952 × 6371000     		dr = 2508.13527999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.10446617-1.10600015) × cos(1.31145398) × R
    0.00153398000000005 × 0.256444946876806 × 6371000     		do = 2506.23302433592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.10446617-1.10600015) × cos(1.31106030) × R
    0.00153398000000005 × 0.256825441878285 × 6371000     		du = 2509.95159687913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31145398)-sin(1.31106030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256444946876806-0.256825441878285)×R²
    abs(1.10600015-1.10446617)×0.000380495001478687×R²
    0.00153398000000005×0.000380495001478687×6371000²
    0.00153398000000005×0.000380495001478687×40589641000000     		ar = 6290634.89097055m²