Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 28 / 61
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
W 22.500000°		 ← 72.329 km → S 83.359512°
W 16.875000°		 →
↑
68.913 km
↓
↑
68.913 km
↓
S 83.979259°
W 22.500000°		 ← 65.605 km →
4 752.75 km²		 S 83.979259°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4453125 y=0.9609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4453125 × 26)
    floor (0.4453125 × 64)
    floor (28.5)     		tx = 28
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9609375 × 26)
    floor (0.9609375 × 64)
    floor (61.5)     		ty = 61
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 28 / 61 ti = "6/28/61"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/28/61.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28 ÷ 26
    28 ÷ 64     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61 ÷ 26
    61 ÷ 64     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28 KachelY 61 -0.39269908 -1.45489794 -22.500000 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 29 KachelY 61 -0.29452431 -1.45489794 -16.875000 -83.359512
    Unten links KachelX 28 KachelY + 1 62 -0.39269908 -1.46571458 -22.500000 -83.979259
    Unten rechts KachelX + 1 29 KachelY + 1 62 -0.29452431 -1.46571458 -16.875000 -83.979259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.46571458) × R
    0.01081664 × 6371000     		dl = 68912.8134400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.46571458) × R
    0.01081664 × 6371000     		dr = 68912.8134400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.29452431) × cos(-1.45489794) × R
    0.09817477 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 72328.953371941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.29452431) × cos(-1.46571458) × R
    0.09817477 × 0.104888465058156 × 6371000     		du = 65604.7413424707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.46571458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.104888465058156)×R²
    abs(-0.29452431--0.39269908)×0.0107506296658491×R²
    0.09817477×0.0107506296658491×6371000²
    0.09817477×0.0107506296658491×40589641000000     		ar = 4752745824.71577m²