Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2800 / 752
↖ ↑ ↗
← N 74.402163°
E 66.093750°		 ← 2 627.79 m → N 74.402163°
E 66.181640°		 →
↑
2 629.76 m
↓
↑
2 629.76 m
↓
N 74.378513°
E 66.093750°		 ← 2 631.68 m →
6 915 571 m²		 N 74.378513°
E 66.181640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6837158203125 y=0.1837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6837158203125 × 212)
    floor (0.6837158203125 × 4096)
    floor (2800.5)     		tx = 2800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1837158203125 × 212)
    floor (0.1837158203125 × 4096)
    floor (752.5)     		ty = 752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2800 / 752 ti = "12/2800/752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2800/752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2800 ÷ 212
    2800 ÷ 4096     		x = 0.68359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 752 ÷ 212
    752 ÷ 4096     		y = 0.18359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68359375 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.15355355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18359375 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.98803910104297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15355355} λ = 1.15355355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98803910104297))-π/2
    2×atan(7.30120279516622)-π/2
    2×1.43467951736315-π/2
    2.8693590347263-1.57079632675     		φ = 1.29856271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15355355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29856271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.402163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2800 KachelY 752 1.15355355 1.29856271 66.093750 74.402163
    Oben rechts KachelX + 1 2801 KachelY 752 1.15508753 1.29856271 66.181640 74.402163
    Unten links KachelX 2800 KachelY + 1 753 1.15355355 1.29814994 66.093750 74.378513
    Unten rechts KachelX + 1 2801 KachelY + 1 753 1.15508753 1.29814994 66.181640 74.378513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29856271-1.29814994) × R
    0.00041276999999984 × 6371000     		dl = 2629.75766999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29856271-1.29814994) × R
    0.00041276999999984 × 6371000     		dr = 2629.75766999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15355355-1.15508753) × cos(1.29856271) × R
    0.00153398000000005 × 0.268883464392247 × 6371000     		do = 2627.79448908942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15355355-1.15508753) × cos(1.29814994) × R
    0.00153398000000005 × 0.269281010277254 × 6371000     		du = 2631.67969968852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29856271)-sin(1.29814994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.268883464392247-0.269281010277254)×R²
    abs(1.15508753-1.15355355)×0.000397545885006845×R²
    0.00153398000000005×0.000397545885006845×6371000²
    0.00153398000000005×0.000397545885006845×40589641000000     		ar = 6915571.3922368m²