Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2814 / 766
↖ ↑ ↗
← N 74.067866°
E 67.324219°		 ← 2 682.67 m → N 74.067866°
E 67.412109°		 →
↑
2 684.68 m
↓
↑
2 684.68 m
↓
N 74.043723°
E 67.324219°		 ← 2 686.63 m →
7 207 416 m²		 N 74.043723°
E 67.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6871337890625 y=0.1871337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6871337890625 × 212)
    floor (0.6871337890625 × 4096)
    floor (2814.5)     		tx = 2814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1871337890625 × 212)
    floor (0.1871337890625 × 4096)
    floor (766.5)     		ty = 766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2814 / 766 ti = "12/2814/766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2814/766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2814 ÷ 212
    2814 ÷ 4096     		x = 0.68701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 766 ÷ 212
    766 ÷ 4096     		y = 0.18701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68701171875 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17502928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18701171875 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96656337001318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17502928} λ = 1.17502928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96656337001318))-π/2
    2×atan(7.14607582240616)-π/2
    2×1.43176223138021-π/2
    2.86352446276042-1.57079632675     		φ = 1.29272814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17502928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29272814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.067866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2814 KachelY 766 1.17502928 1.29272814 67.324219 74.067866
    Oben rechts KachelX + 1 2815 KachelY 766 1.17656326 1.29272814 67.412109 74.067866
    Unten links KachelX 2814 KachelY + 1 767 1.17502928 1.29230675 67.324219 74.043723
    Unten rechts KachelX + 1 2815 KachelY + 1 767 1.17656326 1.29230675 67.412109 74.043723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29272814-1.29230675) × R
    0.000421389999999855 × 6371000     		dl = 2684.67568999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29272814-1.29230675) × R
    0.000421389999999855 × 6371000     		dr = 2684.67568999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17502928-1.17656326) × cos(1.29272814) × R
    0.00153398000000005 × 0.274498554466336 × 6371000     		do = 2682.67068902899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17502928-1.17656326) × cos(1.29230675) × R
    0.00153398000000005 × 0.274903733444816 × 6371000     		du = 2686.63049774816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29272814)-sin(1.29230675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274498554466336-0.274903733444816)×R²
    abs(1.17656326-1.17502928)×0.000405178978479248×R²
    0.00153398000000005×0.000405178978479248×6371000²
    0.00153398000000005×0.000405178978479248×40589641000000     		ar = 7207416.2908636m²