Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2814 / 774
↖ ↑ ↗
← N 73.873716°
E 67.324219°		 ← 2 714.50 m → N 73.873716°
E 67.412109°		 →
↑
2 716.47 m
↓
↑
2 716.47 m
↓
N 73.849287°
E 67.324219°		 ← 2 718.50 m →
7 379 285 m²		 N 73.849287°
E 67.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6871337890625 y=0.1890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6871337890625 × 212)
    floor (0.6871337890625 × 4096)
    floor (2814.5)     		tx = 2814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1890869140625 × 212)
    floor (0.1890869140625 × 4096)
    floor (774.5)     		ty = 774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2814 / 774 ti = "12/2814/774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2814/774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2814 ÷ 212
    2814 ÷ 4096     		x = 0.68701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 774 ÷ 212
    774 ÷ 4096     		y = 0.18896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68701171875 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17502928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18896484375 × 2 - 1) × π
    0.6220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95429152371045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17502928} λ = 1.17502928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95429152371045))-π/2
    2×atan(7.05891617697002)-π/2
    2×1.43006795558361-π/2
    2.86013591116722-1.57079632675     		φ = 1.28933958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17502928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28933958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.873716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2814 KachelY 774 1.17502928 1.28933958 67.324219 73.873716
    Oben rechts KachelX + 1 2815 KachelY 774 1.17656326 1.28933958 67.412109 73.873716
    Unten links KachelX 2814 KachelY + 1 775 1.17502928 1.28891320 67.324219 73.849287
    Unten rechts KachelX + 1 2815 KachelY + 1 775 1.17656326 1.28891320 67.412109 73.849287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28933958-1.28891320) × R
    0.000426379999999948 × 6371000     		dl = 2716.46697999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28933958-1.28891320) × R
    0.000426379999999948 × 6371000     		dr = 2716.46697999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17502928-1.17656326) × cos(1.28933958) × R
    0.00153398000000005 × 0.277755369269767 × 6371000     		do = 2714.49949639645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17502928-1.17656326) × cos(1.28891320) × R
    0.00153398000000005 × 0.278164946740312 × 6371000     		du = 2718.50229151957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28933958)-sin(1.28891320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277755369269767-0.278164946740312)×R²
    abs(1.17656326-1.17502928)×0.000409577470545541×R²
    0.00153398000000005×0.000409577470545541×6371000²
    0.00153398000000005×0.000409577470545541×40589641000000     		ar = 7379285.09137087m²