Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2815 / 3839
↖ ↑ ↗
← S 82.665072°
E 67.412109°		 ← 1 247.72 m → S 82.665072°
E 67.500000°		 →
↑
1 246.80 m
↓
↑
1 246.80 m
↓
S 82.676285°
E 67.412109°		 ← 1 245.82 m →
1 554 478 m²		 S 82.676285°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6873779296875 y=0.9373779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6873779296875 × 212)
    floor (0.6873779296875 × 4096)
    floor (2815.5)     		tx = 2815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9373779296875 × 212)
    floor (0.9373779296875 × 4096)
    floor (3839.5)     		ty = 3839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2815 / 3839 ti = "12/2815/3839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2815/3839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2815 ÷ 212
    2815 ÷ 4096     		x = 0.687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3839 ÷ 212
    3839 ÷ 4096     		y = 0.937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687255859375 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17656326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.87451171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.74735959102466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17656326} λ = 1.17656326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74735959102466))-π/2
    2×atan(0.0640968799463142)-π/2
    2×0.0640093169374422-π/2
    0.128018633874884-1.57079632675     		φ = -1.44277769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17656326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44277769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.665072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2815 KachelY 3839 1.17656326 -1.44277769 67.412109 -82.665072
    Oben rechts KachelX + 1 2816 KachelY 3839 1.17809725 -1.44277769 67.500000 -82.665072
    Unten links KachelX 2815 KachelY + 1 3840 1.17656326 -1.44297339 67.412109 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 2816 KachelY + 1 3840 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44277769--1.44297339) × R
    0.00019569999999991 × 6371000     		dl = 1246.80469999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44277769--1.44297339) × R
    0.00019569999999991 × 6371000     		dr = 1246.80469999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17656326-1.17809725) × cos(-1.44277769) × R
    0.00153398999999999 × 0.127669245194587 × 6371000     		do = 1247.71795377303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17656326-1.17809725) × cos(-1.44297339) × R
    0.00153398999999999 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 1245.82099502471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44277769)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127669245194587-0.127475144203388)×R²
    abs(1.17809725-1.17656326)×0.000194100991198792×R²
    0.00153398999999999×0.000194100991198792×6371000²
    0.00153398999999999×0.000194100991198792×40589641000000     		ar = 1554478.0454569m²