Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2815 / 767
↖ ↑ ↗
← N 74.043723°
E 67.412109°		 ← 2 686.65 m → N 74.043723°
E 67.500000°		 →
↑
2 688.63 m
↓
↑
2 688.63 m
↓
N 74.019543°
E 67.412109°		 ← 2 690.61 m →
7 228 721 m²		 N 74.019543°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6873779296875 y=0.1873779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6873779296875 × 212)
    floor (0.6873779296875 × 4096)
    floor (2815.5)     		tx = 2815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1873779296875 × 212)
    floor (0.1873779296875 × 4096)
    floor (767.5)     		ty = 767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2815 / 767 ti = "12/2815/767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2815/767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2815 ÷ 212
    2815 ÷ 4096     		x = 0.687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 767 ÷ 212
    767 ÷ 4096     		y = 0.187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687255859375 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17656326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187255859375 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17656326} λ = 1.17656326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96502938922534))-π/2
    2×atan(7.13512228279368)-π/2
    2×1.4315515382751-π/2
    2.8631030765502-1.57079632675     		φ = 1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17656326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2815 KachelY 767 1.17656326 1.29230675 67.412109 74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 2816 KachelY 767 1.17809725 1.29230675 67.500000 74.043723
    Unten links KachelX 2815 KachelY + 1 768 1.17656326 1.29188474 67.412109 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 2816 KachelY + 1 768 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29230675-1.29188474) × R
    0.000422010000000084 × 6371000     		dl = 2688.62571000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29230675-1.29188474) × R
    0.000422010000000084 × 6371000     		dr = 2688.62571000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17656326-1.17809725) × cos(1.29230675) × R
    0.00153398999999999 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 2686.64801186491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17656326-1.17809725) × cos(1.29188474) × R
    0.00153398999999999 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 2690.6131944656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29230675)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.275309459649329)×R²
    abs(1.17809725-1.17656326)×0.00040572620451379×R²
    0.00153398999999999×0.00040572620451379×6371000²
    0.00153398999999999×0.00040572620451379×40589641000000     		ar = 7228721.4716397m²