Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2815 / 769
↖ ↑ ↗
← N 73.995328°
E 67.412109°		 ← 2 694.58 m → N 73.995328°
E 67.500000°		 →
↑
2 696.53 m
↓
↑
2 696.53 m
↓
N 73.971078°
E 67.412109°		 ← 2 698.56 m →
7 271 375 m²		 N 73.971078°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6873779296875 y=0.1878662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6873779296875 × 212)
    floor (0.6873779296875 × 4096)
    floor (2815.5)     		tx = 2815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1878662109375 × 212)
    floor (0.1878662109375 × 4096)
    floor (769.5)     		ty = 769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2815 / 769 ti = "12/2815/769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2815/769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2815 ÷ 212
    2815 ÷ 4096     		x = 0.687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 769 ÷ 212
    769 ÷ 4096     		y = 0.187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687255859375 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17656326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187744140625 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96196142764966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17656326} λ = 1.17656326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96196142764966))-π/2
    2×atan(7.11326554674912)-π/2
    2×1.43112921871512-π/2
    2.86225843743023-1.57079632675     		φ = 1.29146211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17656326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29146211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.995328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2815 KachelY 769 1.17656326 1.29146211 67.412109 73.995328
    Oben rechts KachelX + 1 2816 KachelY 769 1.17809725 1.29146211 67.500000 73.995328
    Unten links KachelX 2815 KachelY + 1 770 1.17656326 1.29103886 67.412109 73.971078
    Unten rechts KachelX + 1 2816 KachelY + 1 770 1.17809725 1.29103886 67.500000 73.971078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29146211-1.29103886) × R
    0.000423250000000097 × 6371000     		dl = 2696.52575000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29146211-1.29103886) × R
    0.000423250000000097 × 6371000     		dr = 2696.52575000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17656326-1.17809725) × cos(1.29146211) × R
    0.00153398999999999 × 0.275715732791679 × 6371000     		do = 2694.58372231725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17656326-1.17809725) × cos(1.29103886) × R
    0.00153398999999999 × 0.276122552582718 × 6371000     		du = 2698.55959259405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29146211)-sin(1.29103886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275715732791679-0.276122552582718)×R²
    abs(1.17809725-1.17656326)×0.000406819791039625×R²
    0.00153398999999999×0.000406819791039625×6371000²
    0.00153398999999999×0.000406819791039625×40589641000000     		ar = 7271375.01959802m²