Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2816 / 2815
↖ ↑ ↗
← S 55.727110°
E 67.500000°		 ← 5 503.51 m → S 55.727110°
E 67.587891°		 →
↑
5 500.02 m
↓
↑
5 500.02 m
↓
S 55.776573°
E 67.500000°		 ← 5 496.54 m →
30 250 252 m²		 S 55.776573°
E 67.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6876220703125 y=0.6873779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6876220703125 × 212)
    floor (0.6876220703125 × 4096)
    floor (2816.5)     		tx = 2816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6873779296875 × 212)
    floor (0.6873779296875 × 4096)
    floor (2815.5)     		ty = 2815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2816 / 2815 ti = "12/2816/2815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2816/2815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2816 ÷ 212
    2816 ÷ 4096     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2815 ÷ 212
    2815 ÷ 4096     		y = 0.687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687255859375 × 2 - 1) × π
    -0.37451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17656326427466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17656326427466))-π/2
    2×atan(0.308336591158353)-π/2
    2×0.299087386604222-π/2
    0.598174773208444-1.57079632675     		φ = -0.97262155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97262155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.727110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2816 KachelY 2815 1.17809725 -0.97262155 67.500000 -55.727110
    Oben rechts KachelX + 1 2817 KachelY 2815 1.17963123 -0.97262155 67.587891 -55.727110
    Unten links KachelX 2816 KachelY + 1 2816 1.17809725 -0.97348484 67.500000 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 2817 KachelY + 1 2816 1.17963123 -0.97348484 67.587891 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97262155--0.97348484) × R
    0.000863290000000072 × 6371000     		dl = 5500.02059000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97262155--0.97348484) × R
    0.000863290000000072 × 6371000     		dr = 5500.02059000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17963123) × cos(-0.97262155) × R
    0.00153398000000005 × 0.563135111979201 × 6371000     		do = 5503.51189209969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17963123) × cos(-0.97348484) × R
    0.00153398000000005 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 5496.5378668263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97262155)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563135111979201-0.562421509722991)×R²
    abs(1.17963123-1.17809725)×0.000713602256209644×R²
    0.00153398000000005×0.000713602256209644×6371000²
    0.00153398000000005×0.000713602256209644×40589641000000     		ar = 30250251.961275m²