Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2817 / 257
↖ ↑ ↗
← N 82.665072°
E 67.587891°		 ← 1 247.71 m → N 82.665072°
E 67.675781°		 →
↑
1 248.65 m
↓
↑
1 248.65 m
↓
N 82.653843°
E 67.587891°		 ← 1 249.61 m →
1 559 142 m²		 N 82.653843°
E 67.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6878662109375 y=0.0628662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6878662109375 × 212)
    floor (0.6878662109375 × 4096)
    floor (2817.5)     		tx = 2817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0628662109375 × 212)
    floor (0.0628662109375 × 4096)
    floor (257.5)     		ty = 257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2817 / 257 ti = "12/2817/257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2817/257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2817 ÷ 212
    2817 ÷ 4096     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 257 ÷ 212
    257 ÷ 4096     		y = 0.062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062744140625 × 2 - 1) × π
    0.87451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74735959102466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74735959102466))-π/2
    2×atan(15.6013834189367)-π/2
    2×1.50678700985745-π/2
    3.01357401971491-1.57079632675     		φ = 1.44277769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44277769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.665072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2817 KachelY 257 1.17963123 1.44277769 67.587891 82.665072
    Oben rechts KachelX + 1 2818 KachelY 257 1.18116521 1.44277769 67.675781 82.665072
    Unten links KachelX 2817 KachelY + 1 258 1.17963123 1.44258170 67.587891 82.653843
    Unten rechts KachelX + 1 2818 KachelY + 1 258 1.18116521 1.44258170 67.675781 82.653843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44277769-1.44258170) × R
    0.000195989999999924 × 6371000     		dl = 1248.65228999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44277769-1.44258170) × R
    0.000195989999999924 × 6371000     		dr = 1248.65228999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.18116521) × cos(1.44277769) × R
    0.00153398000000005 × 0.127669245194587 × 6371000     		do = 1247.70981996547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.18116521) × cos(1.44258170) × R
    0.00153398000000005 × 0.127863628915862 × 6371000     		du = 1249.60952946486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44277769)-sin(1.44258170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127669245194587-0.127863628915862)×R²
    abs(1.18116521-1.17963123)×0.000194383721274866×R²
    0.00153398000000005×0.000194383721274866×6371000²
    0.00153398000000005×0.000194383721274866×40589641000000     		ar = 1559141.7672555m²