Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2817 / 2817
↖ ↑ ↗
← S 55.825973°
E 67.587891°		 ← 5 489.57 m → S 55.825973°
E 67.675781°		 →
↑
5 486.07 m
↓
↑
5 486.07 m
↓
S 55.875311°
E 67.587891°		 ← 5 482.60 m →
30 097 045 m²		 S 55.875311°
E 67.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6878662109375 y=0.6878662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6878662109375 × 212)
    floor (0.6878662109375 × 4096)
    floor (2817.5)     		tx = 2817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6878662109375 × 212)
    floor (0.6878662109375 × 4096)
    floor (2817.5)     		ty = 2817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2817 / 2817 ti = "12/2817/2817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2817/2817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2817 ÷ 212
    2817 ÷ 4096     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2817 ÷ 212
    2817 ÷ 4096     		y = 0.687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17963122585034))-π/2
    2×atan(0.307392075953325)-π/2
    2×0.298224642695219-π/2
    0.596449285390439-1.57079632675     		φ = -0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2817 KachelY 2817 1.17963123 -0.97434704 67.587891 -55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 2818 KachelY 2817 1.18116521 -0.97434704 67.675781 -55.825973
    Unten links KachelX 2817 KachelY + 1 2818 1.17963123 -0.97520814 67.587891 -55.875311
    Unten rechts KachelX + 1 2818 KachelY + 1 2818 1.18116521 -0.97520814 67.675781 -55.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97434704--0.97520814) × R
    0.000861099999999948 × 6371000     		dl = 5486.06809999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97434704--0.97520814) × R
    0.000861099999999948 × 6371000     		dr = 5486.06809999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.18116521) × cos(-0.97434704) × R
    0.00153398000000005 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 5489.56855838871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.18116521) × cos(-0.97520814) × R
    0.00153398000000005 × 0.560995763524048 × 6371000     		du = 5482.60406835754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97434704)-sin(-0.97520814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.560995763524048)×R²
    abs(1.18116521-1.17963123)×0.000712626582893616×R²
    0.00153398000000005×0.000712626582893616×6371000²
    0.00153398000000005×0.000712626582893616×40589641000000     		ar = 30097044.9773764m²