Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2817 / 5887
↖ ↑ ↗
← S 61.585492°
W 56.206054°		 ← 2 325.22 m → S 61.585492°
W 56.162109°		 →
↑
2 324.46 m
↓
↑
2 324.46 m
↓
S 61.606397°
W 56.206054°		 ← 2 323.65 m →
5 403 063 m²		 S 61.606397°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34393310546875 y=0.71868896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34393310546875 × 213)
    floor (0.34393310546875 × 8192)
    floor (2817.5)     		tx = 2817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71868896484375 × 213)
    floor (0.71868896484375 × 8192)
    floor (5887.5)     		ty = 5887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2817 / 5887 ti = "13/2817/5887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2817/5887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2817 ÷ 213
    2817 ÷ 8192     		x = 0.3438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5887 ÷ 213
    5887 ÷ 8192     		y = 0.7186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37367979551233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98098071} λ = -0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37367979551233))-π/2
    2×atan(0.253173616212895)-π/2
    2×0.247963358392383-π/2
    0.495926716784767-1.57079632675     		φ = -1.07486961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07486961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.585492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2817 KachelY 5887 -0.98098071 -1.07486961 -56.206054 -61.585492
    Oben rechts KachelX + 1 2818 KachelY 5887 -0.98021372 -1.07486961 -56.162109 -61.585492
    Unten links KachelX 2817 KachelY + 1 5888 -0.98098071 -1.07523446 -56.206054 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 2818 KachelY + 1 5888 -0.98021372 -1.07523446 -56.162109 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07486961--1.07523446) × R
    0.000364849999999972 × 6371000     		dl = 2324.45934999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07486961--1.07523446) × R
    0.000364849999999972 × 6371000     		dr = 2324.45934999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98098071--0.98021372) × cos(-1.07486961) × R
    0.000766990000000023 × 0.475846928957086 × 6371000     		do = 2325.22282541597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98098071--0.98021372) × cos(-1.07523446) × R
    0.000766990000000023 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 2323.65461536052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07486961)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475846928957086-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.98021372--0.98098071)×0.000320927495933487×R²
    0.000766990000000023×0.000320927495933487×6371000²
    0.000766990000000023×0.000320927495933487×40589641000000     		ar = 5403063.37704722m²