Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2818 / 4866
↖ ↑ ↗
← S 32.026706°
W 56.162109°		 ← 4 142.77 m → S 32.026706°
W 56.118164°		 →
↑
4 141.98 m
↓
↑
4 141.98 m
↓
S 32.063956°
W 56.162109°		 ← 4 141.09 m →
17 155 789 m²		 S 32.063956°
W 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34405517578125 y=0.59405517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34405517578125 × 213)
    floor (0.34405517578125 × 8192)
    floor (2818.5)     		tx = 2818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59405517578125 × 213)
    floor (0.59405517578125 × 8192)
    floor (4866.5)     		ty = 4866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2818 / 4866 ti = "13/2818/4866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2818/4866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2818 ÷ 213
    2818 ÷ 8192     		x = 0.343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4866 ÷ 213
    4866 ÷ 8192     		y = 0.593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98021372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.590582603319092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98021372} λ = -0.98021372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590582603319092))-π/2
    2×atan(0.554004425877011)-π/2
    2×0.505912426710652-π/2
    1.0118248534213-1.57079632675     		φ = -0.55897147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98021372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55897147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.026706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2818 KachelY 4866 -0.98021372 -0.55897147 -56.162109 -32.026706
    Oben rechts KachelX + 1 2819 KachelY 4866 -0.97944673 -0.55897147 -56.118164 -32.026706
    Unten links KachelX 2818 KachelY + 1 4867 -0.98021372 -0.55962160 -56.162109 -32.063956
    Unten rechts KachelX + 1 2819 KachelY + 1 4867 -0.97944673 -0.55962160 -56.118164 -32.063956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55897147--0.55962160) × R
    0.000650130000000027 × 6371000     		dl = 4141.97823000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55897147--0.55962160) × R
    0.000650130000000027 × 6371000     		dr = 4141.97823000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98021372--0.97944673) × cos(-0.55897147) × R
    0.000766989999999912 × 0.847801003712716 × 6371000     		do = 4142.77391589698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98021372--0.97944673) × cos(-0.55962160) × R
    0.000766989999999912 × 0.847456051208141 × 6371000     		du = 4141.088307798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55897147)-sin(-0.55962160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847801003712716-0.847456051208141)×R²
    abs(-0.97944673--0.98021372)×0.000344952504575557×R²
    0.000766989999999912×0.000344952504575557×6371000²
    0.000766989999999912×0.000344952504575557×40589641000000     		ar = 17155789.0997003m²