Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2818 / 770
N 73.971078°
E 67.675781°
← 2 698.54 m → N 73.971078°
E 67.763672°

2 700.54 m

2 700.54 m
N 73.946791°
E 67.675781°
← 2 702.52 m →
7 292 895 m²
N 73.946791°
E 67.763672°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6881103515625 y=0.1881103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6881103515625 × 212)
    floor (0.6881103515625 × 4096)
    floor (2818.5)
    tx = 2818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1881103515625 × 212)
    floor (0.1881103515625 × 4096)
    floor (770.5)
    ty = 770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2818 / 770 ti = "12/2818/770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2818/770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2818 ÷ 212
    2818 ÷ 4096
    x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 770 ÷ 212
    770 ÷ 4096
    y = 0.18798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535
    Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.18798828125 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535
    Φ = 1.96042744686182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96042744686182))-π/2
    2×atan(7.10236229888599)-π/2
    2×1.43091759141713-π/2
    2.86183518283426-1.57079632675
    φ = 1.29103886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29103886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.971078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2818 KachelY 770 1.18116521 1.29103886 67.675781 73.971078
    Oben rechts KachelX + 1 2819 KachelY 770 1.18269919 1.29103886 67.763672 73.971078
    Unten links KachelX 2818 KachelY + 1 771 1.18116521 1.29061498 67.675781 73.946791
    Unten rechts KachelX + 1 2819 KachelY + 1 771 1.18269919 1.29061498 67.763672 73.946791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.29103886-1.29061498) × R
    0.000423880000000043 × 6371000
    dl = 2700.53948000027m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.29103886-1.29061498) × R
    0.000423880000000043 × 6371000
    dr = 2700.53948000027m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18269919) × cos(1.29103886) × R
    0.00153397999999982 × 0.276122552582718 × 6371000
    do = 2698.54200082594m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18269919) × cos(1.29061498) × R
    0.00153397999999982 × 0.276529928342407 × 6371000
    du = 2702.5232786584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.29103886)-sin(1.29061498))×
    abs(λ12)×abs(0.276122552582718-0.276529928342407)×
    abs(1.18269919-1.18116521)×0.000407375759688799×
    0.00153397999999982×0.000407375759688799×6371000²
    0.00153397999999982×0.000407375759688799×40589641000000
    ar = 7292895.11985241m²