Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2820 / 260
↖ ↑ ↗
← N 82.631333°
E 67.851563°		 ← 1 253.42 m → N 82.631333°
E 67.939453°		 →
↑
1 254.32 m
↓
↑
1 254.32 m
↓
N 82.620052°
E 67.851563°		 ← 1 255.33 m →
1 573 387 m²		 N 82.620052°
E 67.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6885986328125 y=0.0635986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6885986328125 × 212)
    floor (0.6885986328125 × 4096)
    floor (2820.5)     		tx = 2820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0635986328125 × 212)
    floor (0.0635986328125 × 4096)
    floor (260.5)     		ty = 260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2820 / 260 ti = "12/2820/260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2820/260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2820 ÷ 212
    2820 ÷ 4096     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 260 ÷ 212
    260 ÷ 4096     		y = 0.0634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0634765625 × 2 - 1) × π
    0.873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74275764866113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74275764866113))-π/2
    2×atan(15.5297517005883)-π/2
    2×1.50649257519657-π/2
    3.01298515039315-1.57079632675     		φ = 1.44218882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44218882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.631333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2820 KachelY 260 1.18423317 1.44218882 67.851563 82.631333
    Oben rechts KachelX + 1 2821 KachelY 260 1.18576715 1.44218882 67.939453 82.631333
    Unten links KachelX 2820 KachelY + 1 261 1.18423317 1.44199194 67.851563 82.620052
    Unten rechts KachelX + 1 2821 KachelY + 1 261 1.18576715 1.44199194 67.939453 82.620052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44218882-1.44199194) × R
    0.000196879999999844 × 6371000     		dl = 1254.32247999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44218882-1.44199194) × R
    0.000196879999999844 × 6371000     		dr = 1254.32247999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18576715) × cos(1.44218882) × R
    0.00153398000000005 × 0.128253274183776 × 6371000     		do = 1253.41752743914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18576715) × cos(1.44199194) × R
    0.00153398000000005 × 0.128448525752937 × 6371000     		du = 1255.32571840427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44218882)-sin(1.44199194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128253274183776-0.128448525752937)×R²
    abs(1.18576715-1.18423317)×0.000195251569160532×R²
    0.00153398000000005×0.000195251569160532×6371000²
    0.00153398000000005×0.000195251569160532×40589641000000     		ar = 1573386.52998021m²