Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2828 / 764
N 74.116047°
E 68.554687°
← 2 674.78 m → N 74.116047°
E 68.642578°

2 676.78 m

2 676.78 m
N 74.091974°
E 68.554687°
← 2 678.73 m →
7 165 084 m²
N 74.091974°
E 68.642578°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6905517578125 y=0.1866455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6905517578125 × 212)
    floor (0.6905517578125 × 4096)
    floor (2828.5)
    tx = 2828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1866455078125 × 212)
    floor (0.1866455078125 × 4096)
    floor (764.5)
    ty = 764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2828 / 764 ti = "12/2828/764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2828/764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2828 ÷ 212
    2828 ÷ 4096
    x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 764 ÷ 212
    764 ÷ 4096
    y = 0.1865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535
    Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1865234375 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535
    Φ = 1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96963133158887))-π/2
    2×atan(7.16803337368528)-π/2
    2×1.43218268634546-π/2
    2.86436537269092-1.57079632675
    φ = 1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2828 KachelY 764 1.19650501 1.29356905 68.554687 74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 2829 KachelY 764 1.19803900 1.29356905 68.642578 74.116047
    Unten links KachelX 2828 KachelY + 1 765 1.19650501 1.29314890 68.554687 74.091974
    Unten rechts KachelX + 1 2829 KachelY + 1 765 1.19803900 1.29314890 68.642578 74.091974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.29356905-1.29314890) × R
    0.000420150000000064 × 6371000
    dl = 2676.7756500004m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.29356905-1.29314890) × R
    0.000420150000000064 × 6371000
    dr = 2676.7756500004m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19803900) × cos(1.29356905) × R
    0.00153398999999999 × 0.273689848953736 × 6371000
    do = 2674.78465768734m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19803900) × cos(1.29314890) × R
    0.00153398999999999 × 0.274093932618175 × 6371000
    du = 2678.73378766127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.29356905)-sin(1.29314890))×
    abs(λ12)×abs(0.273689848953736-0.274093932618175)×
    abs(1.19803900-1.19650501)×0.000404083664438892×
    0.00153398999999999×0.000404083664438892×6371000²
    0.00153398999999999×0.000404083664438892×40589641000000
    ar = 7165084.01357058m²