Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2832 / 4880
↖ ↑ ↗
← S 32.546813°
W 55.546875°		 ← 4 119.08 m → S 32.546813°
W 55.502930°		 →
↑
4 118.21 m
↓
↑
4 118.21 m
↓
S 32.583849°
W 55.546875°		 ← 4 117.38 m →
16 959 755 m²		 S 32.583849°
W 55.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34576416015625 y=0.59576416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34576416015625 × 213)
    floor (0.34576416015625 × 8192)
    floor (2832.5)     		tx = 2832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59576416015625 × 213)
    floor (0.59576416015625 × 8192)
    floor (4880.5)     		ty = 4880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2832 / 4880 ti = "13/2832/4880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2832/4880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2832 ÷ 213
    2832 ÷ 8192     		x = 0.345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4880 ÷ 213
    4880 ÷ 8192     		y = 0.595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345703125 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595703125 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96947586} λ = -0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601320468833984))-π/2
    2×atan(0.548087425686702)-π/2
    2×0.50137363795004-π/2
    1.00274727590008-1.57079632675     		φ = -0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2832 KachelY 4880 -0.96947586 -0.56804905 -55.546875 -32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 2833 KachelY 4880 -0.96870887 -0.56804905 -55.502930 -32.546813
    Unten links KachelX 2832 KachelY + 1 4881 -0.96947586 -0.56869545 -55.546875 -32.583849
    Unten rechts KachelX + 1 2833 KachelY + 1 4881 -0.96870887 -0.56869545 -55.502930 -32.583849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56804905--0.56869545) × R
    0.000646399999999936 × 6371000     		dl = 4118.21439999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56804905--0.56869545) × R
    0.000646399999999936 × 6371000     		dr = 4118.21439999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96947586--0.96870887) × cos(-0.56804905) × R
    0.000766989999999912 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 4119.08010986957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96947586--0.96870887) × cos(-0.56869545) × R
    0.000766989999999912 × 0.842604235556986 × 6371000     		du = 4117.37994317432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56804905)-sin(-0.56869545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.842604235556986)×R²
    abs(-0.96870887--0.96947586)×0.000347931859178918×R²
    0.000766989999999912×0.000347931859178918×6371000²
    0.000766989999999912×0.000347931859178918×40589641000000     		ar = 16959754.7882622m²