Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2832 / 784
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E 68.906250°		 ← 2 754.77 m → N 73.627789°
E 68.994141°		 →
↑
2 756.86 m
↓
↑
2 756.86 m
↓
N 73.602996°
E 68.906250°		 ← 2 758.83 m →
7 600 110 m²		 N 73.602996°
E 68.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6915283203125 y=0.1915283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6915283203125 × 212)
    floor (0.6915283203125 × 4096)
    floor (2832.5)     		tx = 2832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1915283203125 × 212)
    floor (0.1915283203125 × 4096)
    floor (784.5)     		ty = 784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2832 / 784 ti = "12/2832/784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2832/784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2832 ÷ 212
    2832 ÷ 4096     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 784 ÷ 212
    784 ÷ 4096     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2832 KachelY 784 1.20264094 1.28504734 68.906250 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 2833 KachelY 784 1.20417492 1.28504734 68.994141 73.627789
    Unten links KachelX 2832 KachelY + 1 785 1.20264094 1.28461462 68.906250 73.602996
    Unten rechts KachelX + 1 2833 KachelY + 1 785 1.20417492 1.28461462 68.994141 73.602996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28461462) × R
    0.000432720000000053 × 6371000     		dl = 2756.85912000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28461462) × R
    0.000432720000000053 × 6371000     		dr = 2756.85912000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20417492) × cos(1.28504734) × R
    0.00153398000000005 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 2754.77179473336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20417492) × cos(1.28461462) × R
    0.00153398000000005 × 0.282291293418646 × 6371000     		du = 2758.82902223135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28461462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.282291293418646)×R²
    abs(1.20417492-1.20264094)×0.000415147147167338×R²
    0.00153398000000005×0.000415147147167338×6371000²
    0.00153398000000005×0.000415147147167338×40589641000000     		ar = 7600110.46674025m²