Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2836 / 788
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E 69.257812°		 ← 2 771.03 m → N 73.528399°
E 69.345703°		 →
↑
2 773.04 m
↓
↑
2 773.04 m
↓
N 73.503461°
E 69.257812°		 ← 2 775.11 m →
7 689 846 m²		 N 73.503461°
E 69.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6925048828125 y=0.1925048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6925048828125 × 212)
    floor (0.6925048828125 × 4096)
    floor (2836.5)     		tx = 2836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1925048828125 × 212)
    floor (0.1925048828125 × 4096)
    floor (788.5)     		ty = 788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2836 / 788 ti = "12/2836/788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2836/788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2836 ÷ 212
    2836 ÷ 4096     		x = 0.6923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 788 ÷ 212
    788 ÷ 4096     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6923828125 × 2 - 1) × π
    0.384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20877686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20877686} λ = 1.20877686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20877686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.257812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2836 KachelY 788 1.20877686 1.28331266 69.257812 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 2837 KachelY 788 1.21031084 1.28331266 69.345703 73.528399
    Unten links KachelX 2836 KachelY + 1 789 1.20877686 1.28287740 69.257812 73.503461
    Unten rechts KachelX + 1 2837 KachelY + 1 789 1.21031084 1.28287740 69.345703 73.503461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28287740) × R
    0.000435259999999937 × 6371000     		dl = 2773.0414599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28287740) × R
    0.000435259999999937 × 6371000     		dr = 2773.0414599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20877686-1.21031084) × cos(1.28331266) × R
    0.00153398000000005 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 2771.03321546572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20877686-1.21031084) × cos(1.28287740) × R
    0.00153398000000005 × 0.283957431680853 × 6371000     		du = 2775.11216910833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28287740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.283957431680853)×R²
    abs(1.21031084-1.20877686)×0.000417370228559588×R²
    0.00153398000000005×0.000417370228559588×6371000²
    0.00153398000000005×0.000417370228559588×40589641000000     		ar = 7689845.66870465m²