Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2840 / 792
↖ ↑ ↗
← N 73.428424°
E 69.609375°		 ← 2 787.38 m → N 73.428424°
E 69.697265°		 →
↑
2 789.48 m
↓
↑
2 789.48 m
↓
N 73.403337°
E 69.609375°		 ← 2 791.48 m →
7 781 063 m²		 N 73.403337°
E 69.697265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6934814453125 y=0.1934814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6934814453125 × 212)
    floor (0.6934814453125 × 4096)
    floor (2840.5)     		tx = 2840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1934814453125 × 212)
    floor (0.1934814453125 × 4096)
    floor (792.5)     		ty = 792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2840 / 792 ti = "12/2840/792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2840/792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2840 ÷ 212
    2840 ÷ 4096     		x = 0.693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 792 ÷ 212
    792 ÷ 4096     		y = 0.193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.693359375 × 2 - 1) × π
    0.38671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.21491278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193359375 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9266798695293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.21491278} λ = 1.21491278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9266798695293))-π/2
    2×atan(6.86667409916354)-π/2
    2×1.42618204193254-π/2
    2.85236408386507-1.57079632675     		φ = 1.28156776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.21491278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28156776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.428424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2840 KachelY 792 1.21491278 1.28156776 69.609375 73.428424
    Oben rechts KachelX + 1 2841 KachelY 792 1.21644676 1.28156776 69.697265 73.428424
    Unten links KachelX 2840 KachelY + 1 793 1.21491278 1.28112992 69.609375 73.403337
    Unten rechts KachelX + 1 2841 KachelY + 1 793 1.21644676 1.28112992 69.697265 73.403337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28156776-1.28112992) × R
    0.000437840000000023 × 6371000     		dl = 2789.47864000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28156776-1.28112992) × R
    0.000437840000000023 × 6371000     		dr = 2789.47864000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.21491278-1.21644676) × cos(1.28156776) × R
    0.00153398000000005 × 0.285212918947603 × 6371000     		do = 2787.38202931764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.21491278-1.21644676) × cos(1.28112992) × R
    0.00153398000000005 × 0.285632545554047 × 6371000     		du = 2791.48303451102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28156776)-sin(1.28112992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285212918947603-0.285632545554047)×R²
    abs(1.21644676-1.21491278)×0.000419626606443679×R²
    0.00153398000000005×0.000419626606443679×6371000²
    0.00153398000000005×0.000419626606443679×40589641000000     		ar = 7781062.58980571m²