Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28656 / 12336
↖ ↑ ↗
← N 40.580584°
E134.824219°		 ← 927.82 m → N 40.580584°
E134.835205°		 →
↑
927.87 m
↓
↑
927.87 m
↓
N 40.572240°
E134.824219°		 ← 927.94 m →
860 957 m²		 N 40.572240°
E134.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874526977539062 y=0.376480102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874526977539062 × 215)
    floor (0.874526977539062 × 32768)
    floor (28656.5)     		tx = 28656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376480102539062 × 215)
    floor (0.376480102539062 × 32768)
    floor (12336.5)     		ty = 12336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28656 / 12336 ti = "15/28656/12336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28656/12336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28656 ÷ 215
    28656 ÷ 32768     		x = 0.87451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12336 ÷ 215
    12336 ÷ 32768     		y = 0.37646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87451171875 × 2 - 1) × π
    0.7490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35312653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35312653} λ = 2.35312653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.776194278647949))-π/2
    2×atan(2.17318596759015)-π/2
    2×1.1395305707757-π/2
    2.27906114155139-1.57079632675     		φ = 0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35312653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28656 KachelY 12336 2.35312653 0.70826481 134.824219 40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 28657 KachelY 12336 2.35331828 0.70826481 134.835205 40.580584
    Unten links KachelX 28656 KachelY + 1 12337 2.35312653 0.70811917 134.824219 40.572240
    Unten rechts KachelX + 1 28657 KachelY + 1 12337 2.35331828 0.70811917 134.835205 40.572240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70826481-0.70811917) × R
    0.000145639999999947 × 6371000     		dl = 927.872439999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70826481-0.70811917) × R
    0.000145639999999947 × 6371000     		dr = 927.872439999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35312653-2.35331828) × cos(0.70826481) × R
    0.000191749999999935 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 927.8249797323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35312653-2.35331828) × cos(0.70811917) × R
    0.000191749999999935 × 0.759586522418911 × 6371000     		du = 927.940709557632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70826481)-sin(0.70811917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.759586522418911)×R²
    abs(2.35331828-2.35312653)×9.47332245037069e-05×R²
    0.000191749999999935×9.47332245037069e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.47332245037069e-05×40589641000000     		ar = 860956.920616351m²