Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28673 / 12287
↖ ↑ ↗
← N 40.988192°
E135.010986°		 ← 922.15 m → N 40.988192°
E135.021973°		 →
↑
922.20 m
↓
↑
922.20 m
↓
N 40.979898°
E135.010986°		 ← 922.26 m →
850 460 m²		 N 40.979898°
E135.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875045776367188 y=0.374984741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875045776367188 × 215)
    floor (0.875045776367188 × 32768)
    floor (28673.5)     		tx = 28673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374984741210938 × 215)
    floor (0.374984741210938 × 32768)
    floor (12287.5)     		ty = 12287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28673 / 12287 ti = "15/28673/12287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28673/12287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28673 ÷ 215
    28673 ÷ 32768     		x = 0.875030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12287 ÷ 215
    12287 ÷ 32768     		y = 0.374969482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875030517578125 × 2 - 1) × π
    0.75006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35638624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.374969482421875 × 2 - 1) × π
    0.25006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.78558991097348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35638624} λ = 2.35638624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78558991097348))-π/2
    2×atan(2.19370064719419)-π/2
    2×1.14308761199954-π/2
    2.28617522399908-1.57079632675     		φ = 0.71537890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35638624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.010986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71537890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.988192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28673 KachelY 12287 2.35638624 0.71537890 135.010986 40.988192
    Oben rechts KachelX + 1 28674 KachelY 12287 2.35657799 0.71537890 135.021973 40.988192
    Unten links KachelX 28673 KachelY + 1 12288 2.35638624 0.71523415 135.010986 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 28674 KachelY + 1 12288 2.35657799 0.71523415 135.021973 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71537890-0.71523415) × R
    0.000144750000000027 × 6371000     		dl = 922.202250000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71537890-0.71523415) × R
    0.000144750000000027 × 6371000     		dr = 922.202250000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35638624-2.35657799) × cos(0.71537890) × R
    0.000191749999999935 × 0.754844773575751 × 6371000     		do = 922.148003057188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35638624-2.35657799) × cos(0.71523415) × R
    0.000191749999999935 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 922.263978303892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71537890)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754844773575751-0.754939707695381)×R²
    abs(2.35657799-2.35638624)×9.49341196300191e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49341196300191e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49341196300191e-05×40589641000000     		ar = 850460.441054246m²