Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28673 / 36865
↖ ↑ ↗
← S 21.948141°
W 22.494507°		 ← 566.58 m → S 21.948141°
W 22.489013°		 →
↑
566.51 m
↓
↑
566.51 m
↓
S 21.953235°
W 22.494507°		 ← 566.56 m →
320 966 m²		 S 21.953235°
W 22.489013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437522888183594 y=0.562522888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437522888183594 × 216)
    floor (0.437522888183594 × 65536)
    floor (28673.5)     		tx = 28673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562522888183594 × 216)
    floor (0.562522888183594 × 65536)
    floor (36865.5)     		ty = 36865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28673 / 36865 ti = "16/28673/36865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28673/36865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28673 ÷ 216
    28673 ÷ 65536     		x = 0.437515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36865 ÷ 216
    36865 ÷ 65536     		y = 0.562515258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.125030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.39279495548674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39260321} λ = -0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39279495548674))-π/2
    2×atan(0.67516717271829)-π/2
    2×0.593864503814527-π/2
    1.18772900762905-1.57079632675     		φ = -0.38306732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38306732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.948141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28673 KachelY 36865 -0.39260321 -0.38306732 -22.494507 -21.948141
    Oben rechts KachelX + 1 28674 KachelY 36865 -0.39250733 -0.38306732 -22.489013 -21.948141
    Unten links KachelX 28673 KachelY + 1 36866 -0.39260321 -0.38315624 -22.494507 -21.953235
    Unten rechts KachelX + 1 28674 KachelY + 1 36866 -0.39250733 -0.38315624 -22.489013 -21.953235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38306732--0.38315624) × R
    8.89199999999923e-05 × 6371000     		dl = 566.509319999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38306732--0.38315624) × R
    8.89199999999923e-05 × 6371000     		dr = 566.509319999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39260321--0.39250733) × cos(-0.38306732) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.927522536941428 × 6371000     		do = 566.578514423982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39260321--0.39250733) × cos(-0.38315624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92748929789238 × 6371000     		du = 566.558210301678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38306732)-sin(-0.38315624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927522536941428-0.92748929789238)×R²
    abs(-0.39250733--0.39260321)×3.32390490477286e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.32390490477286e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.32390490477286e-05×40589641000000     		ar = 320966.257907174m²