Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28676 / 12300
↖ ↑ ↗
← N 40.880295°
E135.043945°		 ← 923.66 m → N 40.880295°
E135.054932°		 →
↑
923.67 m
↓
↑
923.67 m
↓
N 40.871988°
E135.043945°		 ← 923.77 m →
853 204 m²		 N 40.871988°
E135.054932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875137329101562 y=0.375381469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875137329101562 × 215)
    floor (0.875137329101562 × 32768)
    floor (28676.5)     		tx = 28676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375381469726562 × 215)
    floor (0.375381469726562 × 32768)
    floor (12300.5)     		ty = 12300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28676 / 12300 ti = "15/28676/12300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28676/12300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28676 ÷ 215
    28676 ÷ 32768     		x = 0.8751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12300 ÷ 215
    12300 ÷ 32768     		y = 0.3753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    0.750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35696148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35696148} λ = 2.35696148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783097192193237))-π/2
    2×atan(2.18823917817387)-π/2
    2×1.14214603516019-π/2
    2.28429207032038-1.57079632675     		φ = 0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35696148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28676 KachelY 12300 2.35696148 0.71349574 135.043945 40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 28677 KachelY 12300 2.35715323 0.71349574 135.054932 40.880295
    Unten links KachelX 28676 KachelY + 1 12301 2.35696148 0.71335076 135.043945 40.871988
    Unten rechts KachelX + 1 28677 KachelY + 1 12301 2.35715323 0.71335076 135.054932 40.871988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71349574-0.71335076) × R
    0.000144980000000072 × 6371000     		dl = 923.66758000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71349574-0.71335076) × R
    0.000144980000000072 × 6371000     		dr = 923.66758000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35696148-2.35715323) × cos(0.71349574) × R
    0.000191750000000379 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 923.655300667563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35696148-2.35715323) × cos(0.71335076) × R
    0.000191750000000379 × 0.756173484265919 × 6371000     		du = 923.77120819033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71349574)-sin(0.71335076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.756173484265919)×R²
    abs(2.35715323-2.35696148)×9.48786826936443e-05×R²
    0.000191750000000379×9.48786826936443e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.48786826936443e-05×40589641000000     		ar = 853203.987827548m²