Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28676 / 61444
↖ ↑ ↗
← S 82.679085°
W 22.478028°		 ← 77.84 m → S 82.679085°
W 22.472534°		 →
↑
77.85 m
↓
↑
77.85 m
↓
S 82.679785°
W 22.478028°		 ← 77.83 m →
6 060 m²		 S 82.679785°
W 22.472534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437568664550781 y=0.937568664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437568664550781 × 216)
    floor (0.437568664550781 × 65536)
    floor (28676.5)     		tx = 28676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937568664550781 × 216)
    floor (0.937568664550781 × 65536)
    floor (61444.5)     		ty = 61444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28676 / 61444 ti = "16/28676/61444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28676/61444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28676 ÷ 216
    28676 ÷ 65536     		x = 0.43756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61444 ÷ 216
    61444 ÷ 65536     		y = 0.93756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.8751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.74927706700946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39231559} λ = -0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74927706700946))-π/2
    2×atan(0.0639740934759913)-π/2
    2×0.0638870319023833-π/2
    0.127774063804767-1.57079632675     		φ = -1.44302226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44302226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.679085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28676 KachelY 61444 -0.39231559 -1.44302226 -22.478028 -82.679085
    Oben rechts KachelX + 1 28677 KachelY 61444 -0.39221971 -1.44302226 -22.472534 -82.679085
    Unten links KachelX 28676 KachelY + 1 61445 -0.39231559 -1.44303448 -22.478028 -82.679785
    Unten rechts KachelX + 1 28677 KachelY + 1 61445 -0.39221971 -1.44303448 -22.472534 -82.679785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44302226--1.44303448) × R
    1.22199999998962e-05 × 6371000     		dl = 77.8536199993387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44302226--1.44303448) × R
    1.22199999998962e-05 × 6371000     		dr = 77.8536199993387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39231559--0.39221971) × cos(-1.44302226) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.127426672744109 × 6371000     		do = 77.8387716372087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39231559--0.39221971) × cos(-1.44303448) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.127414552352109 × 6371000     		du = 77.8313678778175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44302226)-sin(-1.44303448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127426672744109-0.127414552352109)×R²
    abs(-0.39221971--0.39231559)×1.21203919997148e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.21203919997148e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.21203919997148e-05×40589641000000     		ar = 6059.74194366666m²