Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28678 / 12294
↖ ↑ ↗
← N 40.930115°
E135.065918°		 ← 922.91 m → N 40.930115°
E135.076904°		 →
↑
922.97 m
↓
↑
922.97 m
↓
N 40.921815°
E135.065918°		 ← 923.03 m →
851 870 m²		 N 40.921815°
E135.076904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875198364257812 y=0.375198364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875198364257812 × 215)
    floor (0.875198364257812 × 32768)
    floor (28678.5)     		tx = 28678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375198364257812 × 215)
    floor (0.375198364257812 × 32768)
    floor (12294.5)     		ty = 12294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28678 / 12294 ti = "15/28678/12294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28678/12294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28678 ÷ 215
    28678 ÷ 32768     		x = 0.87518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12294 ÷ 215
    12294 ÷ 32768     		y = 0.37518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87518310546875 × 2 - 1) × π
    0.7503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35734498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37518310546875 × 2 - 1) × π
    0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35734498} λ = 2.35734498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.784247677784119))-π/2
    2×atan(2.19075816456868)-π/2
    2×1.14258080017148-π/2
    2.28516160034296-1.57079632675     		φ = 0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35734498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28678 KachelY 12294 2.35734498 0.71436527 135.065918 40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 28679 KachelY 12294 2.35753672 0.71436527 135.076904 40.930115
    Unten links KachelX 28678 KachelY + 1 12295 2.35734498 0.71422040 135.065918 40.921815
    Unten rechts KachelX + 1 28679 KachelY + 1 12295 2.35753672 0.71422040 135.076904 40.921815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71436527-0.71422040) × R
    0.000144870000000075 × 6371000     		dl = 922.966770000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71436527-0.71422040) × R
    0.000144870000000075 × 6371000     		dr = 922.966770000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35734498-2.35753672) × cos(0.71436527) × R
    0.000191739999999996 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 922.911594536876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35734498-2.35753672) × cos(0.71422040) × R
    0.000191739999999996 × 0.755604131034012 × 6371000     		du = 923.027524394084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71436527)-sin(0.71422040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.755604131034012)×R²
    abs(2.35753672-2.35734498)×9.49019142992835e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49019142992835e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49019142992835e-05×40589641000000     		ar = 851870.234598334m²