Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28679 / 4105
↖ ↑ ↗
← N 79.152743°
E135.076904°		 ← 229.90 m → N 79.152743°
E135.087891°		 →
↑
229.93 m
↓
↑
229.93 m
↓
N 79.150675°
E135.076904°		 ← 229.95 m →
52 866 m²		 N 79.150675°
E135.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875228881835938 y=0.125289916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875228881835938 × 215)
    floor (0.875228881835938 × 32768)
    floor (28679.5)     		tx = 28679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125289916992188 × 215)
    floor (0.125289916992188 × 32768)
    floor (4105.5)     		ty = 4105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28679 / 4105 ti = "15/28679/4105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28679/4105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28679 ÷ 215
    28679 ÷ 32768     		x = 0.875213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4105 ÷ 215
    4105 ÷ 32768     		y = 0.125274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875213623046875 × 2 - 1) × π
    0.75042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35753672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125274658203125 × 2 - 1) × π
    0.74945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35446876173868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35753672} λ = 2.35753672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35446876173868))-π/2
    2×atan(10.5325320911823)-π/2
    2×1.47613614861432-π/2
    2.95227229722865-1.57079632675     		φ = 1.38147597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35753672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38147597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.152743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28679 KachelY 4105 2.35753672 1.38147597 135.076904 79.152743
    Oben rechts KachelX + 1 28680 KachelY 4105 2.35772847 1.38147597 135.087891 79.152743
    Unten links KachelX 28679 KachelY + 1 4106 2.35753672 1.38143988 135.076904 79.150675
    Unten rechts KachelX + 1 28680 KachelY + 1 4106 2.35772847 1.38143988 135.087891 79.150675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38147597-1.38143988) × R
    3.60900000000441e-05 × 6371000     		dl = 229.929390000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38147597-1.38143988) × R
    3.60900000000441e-05 × 6371000     		dr = 229.929390000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35753672-2.35772847) × cos(1.38147597) × R
    0.000191749999999935 × 0.188191438903736 × 6371000     		do = 229.902048278703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35753672-2.35772847) × cos(1.38143988) × R
    0.000191749999999935 × 0.188226883938221 × 6371000     		du = 229.945349324048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38147597)-sin(1.38143988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188191438903736-0.188226883938221)×R²
    abs(2.35772847-2.35753672)×3.54450344856039e-05×R²
    0.000191749999999935×3.54450344856039e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.54450344856039e-05×40589641000000     		ar = 52866.2158178401m²