Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28680 / 12296
↖ ↑ ↗
← N 40.913512°
E135.087891°		 ← 923.19 m → N 40.913512°
E135.098877°		 →
↑
923.22 m
↓
↑
923.22 m
↓
N 40.905210°
E135.087891°		 ← 923.31 m →
852 364 m²		 N 40.905210°
E135.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875259399414062 y=0.375259399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875259399414062 × 215)
    floor (0.875259399414062 × 32768)
    floor (28680.5)     		tx = 28680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375259399414062 × 215)
    floor (0.375259399414062 × 32768)
    floor (12296.5)     		ty = 12296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28680 / 12296 ti = "15/28680/12296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28680/12296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28680 ÷ 215
    28680 ÷ 32768     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12296 ÷ 215
    12296 ÷ 32768     		y = 0.375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783864182587158))-π/2
    2×atan(2.18991818041011)-π/2
    2×1.14243591489375-π/2
    2.2848718297875-1.57079632675     		φ = 0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28680 KachelY 12296 2.35772847 0.71407550 135.087891 40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 28681 KachelY 12296 2.35792022 0.71407550 135.098877 40.913512
    Unten links KachelX 28680 KachelY + 1 12297 2.35772847 0.71393059 135.087891 40.905210
    Unten rechts KachelX + 1 28681 KachelY + 1 12297 2.35792022 0.71393059 135.098877 40.905210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71407550-0.71393059) × R
    0.000144909999999943 × 6371000     		dl = 923.221609999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71407550-0.71393059) × R
    0.000144909999999943 × 6371000     		dr = 923.221609999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35792022) × cos(0.71407550) × R
    0.000191749999999935 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 923.191604465751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35792022) × cos(0.71393059) × R
    0.000191749999999935 × 0.755793933122978 × 6371000     		du = 923.307533614593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71407550)-sin(0.71393059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.755793933122978)×R²
    abs(2.35792022-2.35772847)×9.48963851987727e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48963851987727e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48963851987727e-05×40589641000000     		ar = 852363.955052767m²