Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28680 / 61448
↖ ↑ ↗
← S 82.681885°
W 22.456055°		 ← 77.80 m → S 82.681885°
W 22.450562°		 →
↑
77.79 m
↓
↑
77.79 m
↓
S 82.682584°
W 22.456055°		 ← 77.79 m →
6 052 m²		 S 82.682584°
W 22.450562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437629699707031 y=0.937629699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437629699707031 × 216)
    floor (0.437629699707031 × 65536)
    floor (28680.5)     		tx = 28680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937629699707031 × 216)
    floor (0.937629699707031 × 65536)
    floor (61448.5)     		ty = 61448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28680 / 61448 ti = "16/28680/61448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28680/61448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28680 ÷ 216
    28680 ÷ 65536     		x = 0.4376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61448 ÷ 216
    61448 ÷ 65536     		y = 0.9376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.74966056220642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39193209} λ = -0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74966056220642))-π/2
    2×atan(0.0639495644221012)-π/2
    2×0.0638626027908129-π/2
    0.127725205581626-1.57079632675     		φ = -1.44307112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44307112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.681885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28680 KachelY 61448 -0.39193209 -1.44307112 -22.456055 -82.681885
    Oben rechts KachelX + 1 28681 KachelY 61448 -0.39183622 -1.44307112 -22.450562 -82.681885
    Unten links KachelX 28680 KachelY + 1 61449 -0.39193209 -1.44308333 -22.456055 -82.682584
    Unten rechts KachelX + 1 28681 KachelY + 1 61449 -0.39183622 -1.44308333 -22.450562 -82.682584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44307112--1.44308333) × R
    1.2210000000179e-05 × 6371000     		dl = 77.7899100011406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44307112--1.44308333) × R
    1.2210000000179e-05 × 6371000     		dr = 77.7899100011406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39193209--0.39183622) × cos(-1.44307112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127378210899042 × 6371000     		do = 77.8010533816138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39193209--0.39183622) × cos(-1.44308333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127366100349535 × 6371000     		du = 77.7936564060872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44307112)-sin(-1.44308333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127378210899042-0.127366100349535)×R²
    abs(-0.39183622--0.39193209)×1.2110549506672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2110549506672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2110549506672e-05×40589641000000     		ar = 6051.8492352315m²