Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28689 / 12303
↖ ↑ ↗
← N 40.855370°
E135.186768°		 ← 924 m → N 40.855370°
E135.197754°		 →
↑
924.05 m
↓
↑
924.05 m
↓
N 40.847060°
E135.186768°		 ← 924.12 m →
853 878 m²		 N 40.847060°
E135.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875534057617188 y=0.375473022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875534057617188 × 215)
    floor (0.875534057617188 × 32768)
    floor (28689.5)     		tx = 28689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375473022460938 × 215)
    floor (0.375473022460938 × 32768)
    floor (12303.5)     		ty = 12303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28689 / 12303 ti = "15/28689/12303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28689/12303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28689 ÷ 215
    28689 ÷ 32768     		x = 0.875518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12303 ÷ 215
    12303 ÷ 32768     		y = 0.375457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875518798828125 × 2 - 1) × π
    0.75103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35945420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375457763671875 × 2 - 1) × π
    0.24908447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.782521949397797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35945420} λ = 2.35945420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782521949397797))-π/2
    2×atan(2.18698077133136)-π/2
    2×1.14192852984117-π/2
    2.28385705968234-1.57079632675     		φ = 0.71306073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35945420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.186768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71306073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.855370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28689 KachelY 12303 2.35945420 0.71306073 135.186768 40.855370
    Oben rechts KachelX + 1 28690 KachelY 12303 2.35964595 0.71306073 135.197754 40.855370
    Unten links KachelX 28689 KachelY + 1 12304 2.35945420 0.71291569 135.186768 40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 28690 KachelY + 1 12304 2.35964595 0.71291569 135.197754 40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71306073-0.71291569) × R
    0.000145040000000041 × 6371000     		dl = 924.049840000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71306073-0.71291569) × R
    0.000145040000000041 × 6371000     		dr = 924.049840000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35945420-2.35964595) × cos(0.71306073) × R
    0.000191749999999935 × 0.756363239737458 × 6371000     		do = 924.003020920125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35945420-2.35964595) × cos(0.71291569) × R
    0.000191749999999935 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 924.118918115625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71306073)-sin(0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756363239737458-0.756458109966538)×R²
    abs(2.35964595-2.35945420)×9.48702290797243e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48702290797243e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48702290797243e-05×40589641000000     		ar = 853878.392530363m²